二次曲线极点极线的定义与性质及其在高中解析几何问题中的应用 摘要：二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景本文通过对数道典型例题解析，阐述二次曲线极点极线的定义与性质，及其在高中解析几何问题，尤其是圆锥曲线定点定值问题中的应用关键字：二次曲线，极点极线，圆锥曲线，定点定值问题二次曲线的极点极线是射影几何中的重要概念，它具有许多重要的几何性质，近年来许多高考解析几何题的命题思路也基于这一数学背景下面以椭圆为例，引出二次曲线极点极线定义与若干性质已知椭圆，称点和直线为椭圆的一对极点极线，为的极线，为的极点1. 切线性质： 若点 在椭圆 上，则椭圆 在点 处的切线 就是 的极线（与椭圆 相切）； 若点 在椭圆 外，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，则 就是 的极线（与椭圆 相交）； 若点 在椭圆 内，过点 作任意直线交椭圆 于 两点，过 分别为作椭圆 的两条切线交于点 ，则点 的轨迹就是 的极线（与 相离）； 确定直线 的极点 可逆用上述方法2. 对偶性质：点 的极线 上任一点的极线必过 ；反之，过直线 的极点 的任一直线的极点必在 上。
3. 焦点－准线性质：椭圆 焦点及其对应准线为一对极点极线；椭圆 的右准线上的一点 对应的极线 经过右焦点 ，且有 4. 中点弦性质：以 为中点的弦与 的极线斜率相同5. 自极三角形性质：过点 作两直线分别交椭圆 于 四点，即 ，设 ， ，则 形成三对极点极线： ， ， ，称 为椭圆 的一个自极三角形6. 调和性质：过点 作直线交椭圆 于 两点，交 的极线 于点 ，则有 自极三角形 射影性质上述定义及性质可推广至任意二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）：已知二次曲线，称点和直线 为曲线的一对极点极线，为的极线，为的极点如：抛物线 的一对极点极线是 和 例1（2010湖北文15）已知椭圆 的两个焦点 ，点 满足 ，则 的取值范围是________，直线 与椭圆的公共点的个数是________．解析：该题第二空中，点 和直线 恰为已知椭圆的一对极点极线，条件 告诉我们点 在椭圆内，故由性质①我们可以马上判断出直线与椭圆相离，即公共点个数为0例2 已知抛物线 和直线 ，过直线 上任一点 作抛物线的两条切线， 为切点．（1）直线 是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若否，请说明理由．（2）求 面积的最小值．解析：在解决这类“是否恒过定点”的问题时，若能事先准确判断是或否并猜想出定点位置，对解题方向的准确把握和解题思路的正确形成有重要的意义。
事实上，由于 恰为已知抛物线的准线，由性质③我们可以知道 和 为该抛物线的一对极点极线， 必恒过焦点 ，且 ，这样就有了解题的方向特别是（2），既然 ，那么显然当 在准线与 轴的交点处时， 和 均取得最小值，于是 面积即也得最小值例3（2014广州二模20）已知定点 和直线 ，过点 且与直线 相切的动圆圆心为点 ，记点 的轨迹为曲线 ．（1）求曲线 的方程；（2）若点 的坐标为 ，直线 与曲线 相交于 两点，直线 分别交直线 于点 ．试判断以线段 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．解析：（1） 对于（2），我们知道，焦点和准线为抛物线的一对极点极线，由性质⑤知， 恰好构成抛物线的一个自极三角形，于是 与 为抛物线的一对极点极线，又由性质③可知 ，从而以 为直径的圆恒过定点 例4（2014广州一模）已知双曲线 的中心为原点 ，左右焦点公别为 ，离心率为 ，点 是直线 上任意一点，点 在双曲线 上，且满足 ．（1）求实数 的值；（2）证明：直线 与直线 的斜率之积是定值；（3）若点 的纵坐标为1，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同两点 ，段 上取异于点 的点 ，满足 ，证明点 恒在一条定直线上．解析：（1） 。
2）由于 在双曲线 的右准线上，且有 ，根据性质③， 为双曲线的切线，设 ，则 ，其斜率 ，而 ，故斜率之积为定值 3）由性质⑥知，满足条件的点 恒在点 的极线上，立刻可知该直线方程为 ，那么也就有了解题的方向了由上可见，二次曲线极点极线的性质虽无法直接用于解答题作答，但它就像一把钥匙，帮助我们理解出题者的本意，迅速的找到解题方向甚至是最终答案，以便寻找方法解决问题特别是在一些客观题和圆锥曲线定点定值问题中，利用极点极线性质解题往往能够收到奇效参考文献：[1] 韩毅, 蒋晓东. 椭圆的极点极线性质及推论[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2019(9).[2] 于涛. 极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2019(1).[3] 王兴华. 漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法[J]. 中学数学教学, 2006(06).[4] 罗碎海. 圆锥曲线的极点与极线的重要结论[J]. 中学数学研究(华南师范大学版), 2014(19).[5] 方德植, 陈奕培. 射影几何[M]. 高等教育出版社, 1983.-全文完-。