全国高中数学联合竞赛一试（A卷）阐明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是 2．设复数满足，，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为 3．正实数均不等于1，若，，则的值为 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩余的纸币面值之和不小于B中剩余的纸币面值之和的概率为 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为 6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，都有，则的最小值为 7．双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是 8．设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这么的有序数组的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字阐明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在中，已知．求的最大值．10．（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，都有．求…的值．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数…满足…。
求…的最大值二、（本题满分40分）如图所示，在中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得设，的外心分别为，，直线与AB，AC分别交于点U，V证明：是等腰三角形三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目标最大值四、（本题满分50分）设与均是素数，数列的定义为，，，…这里表示不小于实数的最小整数全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准阐明：3. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．4. 假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是 答案：解：由可得，原不等式可变形为即，因此．又，故．2．设复数满足，，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为 答案：解：由运算性质，，因为与为实数，，故，，又，因此，从而因此，的模为．3．正实数均不等于1，若，，则的值为 答案：解：令，，则，，条件化为，，由此可得，因此．4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩余的纸币面值之和不小于B中剩余的纸币面值之和的概率为 答案：解：一个取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从A中国取走两张1元纸币，对应的取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，对应有种取法．因此，所求的概率为．5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为 答案：解：由=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而．设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角．因，结合与平行知，，即，这么．故二面角M—BC—A的大小为．6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，都有，则的最小值为 答案：16解：由条件知， 其中当且仅当初，取到最大值．依照条件知，任意一个长为1的开区间最少包括一个最大值点，从而，即．反之，当初，任意一个开区间均包括的一个完整周期，此时成立．综上可知，正整数的最小值为．7．双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是 答案：解：由双曲线的性质知，，．因=90°，故，因此从而直角的内切圆半径是8．设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这么的有序数组的个数为 答案：40解：由柯西不等式知，，等号成立的充足必要条件是，即成等比数列．于是问题等价于计算满足…的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况．此时，注意到互素，故为正整数． 对应地，分别等于，它们均为正整数．这表白，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即．因为，故仅需考虑这些情况，对应的等比数列的个数为．当初，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列．综上可知，共有40个满足条件的有序数组．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字阐明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在中，已知．求的最大值．解：由数量积的定义及余弦定理知，．同理得，，．故已知条件化为即．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得因此．………………………………12分等号成立当且仅当．因此的最大值是．……………16分10．（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，都有．求…的值．解：设=1，2，3，…），则．在中取，注意到，及为奇函数．可知……………………5分即，从而．……………………10分因此……………………20分11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．解：设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为．设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知．因为PQ与C相切于点P，因此上述方程的判别式为，解得．进而可知，点P的坐标为．于是．由｜PQ｜=2可得 ①……………………5分注意到OP与圆相切于点P，因此．设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90°．从而由射影定理知结合①，就有 ②……………………10分由共线，可得．化简得 ③……………………15分令，则圆的面积之和为．依照题意，仅需考虑T取到最小值的情况．依照②、③可知，．作代换，因为，因此．于是．上式等号成立当且仅当，此时，因此结合①得，从而F的坐标为．………………………20分全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数…满足…。
求…的最大值解：令…，由已知得，对…，，都有……………10分如下考虑的情况由平均不等式得………………20分因此………………30分当…时，上述不等式等号成立，且有…，此时综上所述，所求最大值为………………40分二、（本题满分40分）如图所示，在中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得设，的外心分别为，，直线与AB，AC分别交于点U，V证明：是等腰三角形证法一：作的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为和由内角平分线的性质知，由条件可得…………20分故P对圆和的幂相等，因此P在和的根轴上…………30分于是，这表白点U，V有关直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形…………40分证法二：设的外心为O，连接，过点，分别作直线BC的垂线，垂足分别为，作于点K我们证明在直角三角形中，由外心性质，而分别是BC，CX的中点，因此因此这里R是的外接圆半径…………10分由已知条件可得，故…………20分因为，因此90°同理90°…………30分又因为，故，从而这么，即是等腰三角形………………40分三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目标最大值。
解：以这10个点为顶点，所连线段为边得到一个10阶简单图G我们证明G的边数不超出15.设G的顶点为…，共有条边，用表示顶点的度若对…，10都成立，则假设存在满足不妨设，且与…均相邻于是…之间没有边，否则就形成三角形，因此，…之间恰有条边…………10分对每个，至多与…中的一个顶点相邻（否则设与相邻，则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾从而…与…之间的边数至多条…………20分在…这个顶点之间，因为没有三角形，由托兰定理，至多条边，因此G的边数…………30分如图给出的图共有15条边，且满足要求综上所述，所求边数的最大值为15.………50分四、（本题满分50分）设与均是素数，数列的定义为，，，…这里表示不小于实数的最小整数证明：对…都有成立证明：首先注意，是整数数列对用数学归纳法当初，由条件知，故因与均是素数，且，故必须因此，即时结论成立对，设对…成立，此时，。