第 4 讲：正态分布★ 知 识 梳理 ★1 (x _|_l )21.正态总体的概率密度函数：f (x) = .he■ 2a2 ,xeR,式中卩Q是参数，分别表示2兀o 与 ；当卩=0时得到标准正态分布密度函数:f (x )= e T, x e(—s, +s).2兀6答案: 总体的平均数(期望值); 标准差2. 正态曲线的性质：① 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；② 曲线是单峰的，关于直线x=卩对称;③ 曲线在x=卩处达到峰值 ;a%'2r④ 曲线与X轴之间的面积为1；3. 卩,o是参数卩,o是参数的意义：① ;② '答案：① 当a 一定时，曲线随卩质的变化沿x轴平移；② 当卩一定时，曲线形状由a确定：a越大，曲线越“矮胖”表示总体分布越集中; a越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散特别提醒：(1)P(卩一a < x < 卩 + a) =0.6826；⑵ P (卩一 2a < x < 卩 + 2a) =0.9544⑶ p (卩一 3a < x < p + 3a) =0.99744.对于N(y,a2)，取值小于x的概率F (x )=0x — H Ia JP(x < x < x )= P(x < x )- P(x < x ) = F (x )-F (x )1 0 2 2 1 2 1(x -(x -①c2一①—1 I a丿I a丿★重难点突破★1. 重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2. 难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.3.重难点：.(1) 正态分布与正态曲线1 _ (^#)2问题1：若总体密度曲线就是或近似地是函数f(兀)= e 2o2 ,X G R的图象，则其2"分布叫正态分布，常记作N(比G2) . f (X)的图象称为正态曲线.点拨：画出三条正态曲线：即①卩=1Q = 0.5 :②卩=0Q = 1 :③卩=1Q = 2，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：① 曲线在x轴的上方，与x轴不相交.② 曲线关于直线x二卩对称，且在x二卩时位于最高点.③ 当x＜卩时，曲线上升；当x＞卩时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近．④ 当卩一定时，曲线的形状由◎确定.◎越大，曲线越“矮胖”表示总体的分布越分 散；b越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.注意：当卩二0,b = 1时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是1 x2f (x) re ■2, x G R •相应的曲线称为标准正态曲线•★热点考点题型探析★考点一： 正态分布的应用题型 1. 正态分布公式的应用［例1］给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值M和标准差o1 x2(1) f (x) = e" 2 , x G (一8,+8) ＜2k1 _( x-1)2(2) f (x) = e" 8 , x e (一卩+^)2 J 2兀(3) f (x)=x e (—g, )1 (x—" )2［解题思路］:考查正态总体的概率密度函数公式，f(x) = e一 2。
2 ,xeR,式中2兀o卩,o是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差解析：(1)0, 1； (2)1, 2； (3)T, 0.5 *［例2］某物体的温度T (F0)是一个随机变量，已知T〜N(98.6,2)，又随机变量S (C 0) 满足s = 9(t -32)，求S的概率密度［解题思路］:Fo为华氏度，C为摄氏度S为T的线性函数，由要点4知S也服从正态分 布，再由要点1求出S的概率密度解析：E(S) = 5 ［E(T) — 32］ = 59 (98.6 — 32) = 37D(s)=D(T)=Hx 2=-811( y—37)22 50 81所以随机变量S的概率密度为f ( y) = _ s 2 兀 v'5F8T_81 2—ioo(y—3) ,(—g< y < +g)［例3］灯泡厂生产的白炽灯寿命E (单位：h),已知E〜N (1000，302)，要使灯泡的平均 寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？［解题思路］：进行假设检验的方法与步骤：(1) 提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N (p，o 2)；(2) 确定一次试验a值是否落入(|J —3o，p +3o );(3) 作出判断：如果a e (p-3o,卩+ 3。
)，就接受假设；如果a电(卩-3卩+ 3)，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况解析：解：因为灯泡寿命§〜N(1000, 302)，故§在(1000 — 3X30, 1000 + 3X30)内取值 的概率为99.7%，即在(910， 1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控 制在910h以上•【名师指引】正态总体在(p —3o , p +3o )以外的概率只有千分之三，这是一个很小的 概率•这样我们在研究问题时可以集中在(p —3o , p +3o )中研究，而忽略其中很小 的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题【新题导练】1.正态总体为卩二0,Q=-1概率密度函数f (x)是( )A. 奇函数B.偶函数C.非奇百偶函数D.既是奇函数又是偶函数 答案:B2.如果随机变量 E 〜N C，a 2), E^ = 3, D^ = 1，则 P (-1 < 1)等于()A. 2①(4) - 1 B.①(4)—①(2)C.①⑵—①(4) D.①(-4)-①(-2)答案:B 解析：这里的卩=Eg = 3, a = (DE = 1(x —由换算关系式F(x)二①一匕，有I a 丿P (- 1 < g < 1) = P(x < 1)- P(x < -1)= O(1 - 3)-①(-1 - 3)= O(-2)-O( -4)=11 -0(2) ]-11 -0(4)]=0(4) - 0(2)★抢分频道★基础巩固训练1. 正态曲线是A.递增函数 B.递减函数 C.从左到右先增后减的函数 D.从左到右先减后增的函数答案：C2. 标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A. 0与 1 B. 1与 0 C. 0与 0 D. 1 与1答案:A3•正态分布有两个参数卩与a,( )相应的正态曲线的形状越扁平A.卩越大 B.卩越小 C. a越大 D. a越小答案:C4. 下列函数是正态分布密度函数的是( )A. f(x)=B. f (x)早e ；22兀(x—1》C.f(x)=巻e 4x 2D. f (x) pe 2答案:B5.(安徽卷10).设两个正态分布N(卩,1函数图像如图所示则有( )A.卩 V 卩,b VG1 2 1 2B・ p ,G >G1 2 1 2C．p >p ,G VG1 2 1 2D．p > p ,G >G1 2 1 2答案:AG2)(G > 0)和 N(p , G2)(G > 0)的密度1 1 2 2 26 ． ( 湖南省十二校 2008 届高三第一次联考) 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学(x—80)2成绩服从正态分布，其密度函数为f (x) = e 2oo (x e R)，则下列命题不正•J2兀-10确的是 ( )A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分；B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同;C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同;D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B 综合拔高训练7.(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设随机变量§服从正态分布N(0, 1),记Q (x) =p(E
则正确结论的 序号是 答案：①②③8. (2008湖南卷)设随机变量'服从正态分布N(2,9)，若P(g > c +1) = P(g < c 一1)，则c=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:B9．(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩卩二480，标准差b二100，总体服从正态 分布，若全市重点校录取率为40%,那么重点录取分数线可能划在(已知卩(0.25)=0.6)A. 525 分 B. 515 分 C. 505 分 D. 495 分答案：C10.已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机 抽查了10个零件，测得它们的尺寸为： 27.34 、27.49、27.55、27.23 、 27.40 、 27.46、27.38、 27.58、27.54、27.68 +请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的*解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想•我们对落在区间(27.45-3 X0.05, 27.45+3X0.05) = (27.3, 27.6)之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常 状态下生产的假设•有两个零件不符合落在区间(27.3，27.6)之内； 答：尺寸为 27.23 和尺寸为 27.68 的两个零件，它们是在非正常状态下生产的。