1,1.邻域:,复习,3.复合函数,y= f(u)，,u=φ(x),,（重点在分解）,分解方法：从外到内.,求复合函数的方法：,消u.,消中间变量.,2,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数,4.基本初等函数：,5.初等函数,,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次,的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,,称为初等函数.,统称为基本初等函数.,注意：分段函数不一定是初等函数.,3,1-2 数列的极限,一、数列极限的定义,1、数列的概念：,数列：按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的 实数xn,这些实数按照下标从小到大的顺序排列起来的一列数,4,对于数列,于一个确定的常数a ，,记作：,或者记为：,或者记为,或者说数列,收敛于,2、数列极限的描述性定义：,5,当n无限增大时, xn无限接近于a,当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近,因此, 如果 n 增大到一定程度以后,,于常数a, 则数列{xn}收敛a.,当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 .,当n无限增大时, |xn-a|可以任意小,,当n增大到一定程度以后,,任意小的正数.,的任意小的正数,,要多小就能有多小.,|xn-a|能小于事先给定的,则当n无限增大时,,xn无限接近于常数a.,|xn-a|能小于事先给定,6,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言,刻划它?,或者记为,由于,给定,由,有,给定,只要,时，,有,给定,只要,时，,有,给定,只要,时，,有,成立.,7,3、数列极限的精确性定义,定义：,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),,正数 ,,不等式,都成立,,那末就称常数 a是数列,的极限,,记为,或者记为,当,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,或者称数列,收敛于a.,使得对于 时的一切 ,,总存在,恒有,记,表示每一个或任给的；,表示至少有一个或存在.,8,恒有,其中,几何解释:,表示每一个或任给的；,表示至少有一个或存在.,当nN时，,所有的点,只有有限个（至多只有N个）落在其外.,有有限个点（最多N个）：,有无限个点；,,,,,,,,,,,9,注意：,10,11,证,所以,,说明:常数列的极限等于同一常数.,任给,对于一切正整数n,,成立，,,例1,设,(C为常数),证明,12,例2,证,证明,任给,要使,只需,或,即,则当nN时，,就有,即,13,只需,证：,(设,要使,两边取自然对数得,取,即,,例4: P27例2,练习: P31, 3(1)、(2), 2,14,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定,求N的方法：,由,解出n,,寻找N.,但不必要求最小的N.,,再进行取整即得一个N.,15,二、收敛数列的性质,1.极限的唯一性,则它的极限唯一,定理1,如果数列,收敛，,证：,用反证法,假设同时有,且,则,使得当,时，,恒有,时，,恒有,取,则,时，,16,则,即,这是不可能的，,故收敛数列极限唯一.,2.极限的有界性,对数列,若存在正数M，,使得一切,都满足不等式,否则称它无界.,有界性定义：,时，,17,定理2,如果数列,收敛，,则该数列一定有界 .,证,由定义,,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,注意：,有界数列不一定收敛，但收敛必有界.,18,设,由定义得,证：,若它收敛，则极限唯一.,则,即,这是不可能的，,所以该数列发散.,无休止的一再重复取得1和-1,这两个数，,而这两个数不可能属于长度为1的开区间,内，,19,3、收敛数列的保号性,定理3,证,由定义,,实际是保号性定理的逆否命题.,推论,且,20,4.收敛数列与子数列的关系,注意：,例如，,,子数列定义：,这样得到的一个数,一般项,是第k项，,而,项，,显然，,21,定理4 收敛数列的任一子数列收敛，且极限相同．,证,证毕．,说明,22,注意：,对数列增删有限项,不影响数列极限的存在性,,也不影响极限值.,小结,恒有,收敛数列的性质：,预习：从31页到37页,(1)唯一性,(2)有界性,(3)保号性,(4)收敛数列与子数列的关系,。