函数值域方法汇总,四川省天全中学 刘锐,上课,求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结例1 求函数,如图， y-3/4,3/2.,分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解例2 求函数,分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2. 当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2, 综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.,解法2：（函数的单调性法）,是增函数，u取最小值时，y也取最小值原函数的值域为y3/10,12）,例3 求函数 的反函数的定义域.,分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。
解：变形可得,反函数的定义域为(-1,1)例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之解法1：不难看出y0,且可得定义域为3x5,原函数变形为：,解法2：(判别式法).,例8 已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求 的最大值与最小值分析： 即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解例9 已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2 把此圆化为参数方程,(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,解法2（线性规划） x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,,,x,y,o,,,例10 求函数 的值域。
分析：利用三角函数的有界性较数形结合 为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单解：将原函数化为sinx+ycosx=2y,例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之A1(1,-3),y,P,将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明,,,所以原函数值域的为y41,+).,谢谢合作,。