授课主题利用空间向量求角教学目标1•认识空间角的含义，主要是：两异面直线所成角、二面角、线面角.2.明确利用向量求各种角的方法.教学内容角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为0,它们的方向向里为a, b, 则 cos 0—Icos〈a, b〉I —|a|.|b|(o, 2一直线与平面所成的角设直线l与平面a所成的角为0,1的方向向量为a,平面a的法向量为"，则 sin 0—Icos〈a, "〉—|a|・|n|n』，2」二面角设二面角a-l-卩的平面角为0,平面a、B的法向量为n1, n2, 则bos 0| —|cos〈叫，n l —1^^5[0, n]题型一求直线与直线所成的角【例11如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AQ和BB｛的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.解析：方法一 vaM=aa1+a4M, cn=cb+bn, ・•・ AM. cn=(Aa1 +a^M). (Cb+bn)=冈.Bn=2>皿]+A]亦)2= lAAF+AMhu 1+4— 21匚5同理，iCNi=设直线AM与CN所成的角为a., AM. CN贝U cos a= _ :lAMlICNl12_2 5=5-42・•・直线AM与CN所成的余弦值为5.方法二 如图，分别以负、炭、岗］方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则 A(1,O,O), M(1，2，1)，C(O,1,O), N(1，1,・AM =y1， 2， 1)-(1,O,O) = (0,2,】)，1，2丿一(0，1，0)=(1，0，1故 AM CN=0x1 +|x0+1x|=|,设直线AM与CN所成的角为a，1… AM. CN 2 2贝cos a= =' =7.iAMi.iCNi 亚岀 52 x 22直线AM与CN所成的角的余弦值为5.点评：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角0 的取值范围是弓，两向量的夹角a的取值范围是［0, n］，所以cos 0=lcos al.【巩 固 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA = CC=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦 值为( ) 片 —— 也A誓 B誓 C普 D.| 参罗解析：设 CB=1，则 A(2,0,0), B］(0,2,1), C1(0,2,0)，B(0,0,1), BC1 = (0,2，-1)，AB1 = (-2,2,1).cos =BC1 AB】=^="5 故选 A l BC1llAB1l ^5x| 5. J答案：A.题型二求直线与平面所成的角［例 21 如图，在棱柱 ABCD—A1BlC1D1 中，侧棱 AA］丄底面 ABCD, AB〃DC, AA1 = 1, AB=3k, AD=4k, BC=5k,DC=6k(k>0).(1) 求证：CD丄平面ADD］A］；6(2) 若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为7,求k的值.(1)证明：取CD的中点E,连接BE. 因为 AB〃DE, AB=DE=3k,ABC所以四边形ABED为平行四边形，所以 BE〃AD 且 BE=AD=4k.在ABCE 中，因为 BE=4k, CE=3k, BC=5k, 所以 BE2+CE2=BC2,所以ZBEC=90。
即BE丄CD,又因为BE〃AD, 所以CD丄AD.因为AA]丄平面ABCD, CDu平面ABCD,所以 AA]丄CD.又 AA]AAD=A,所以CD丄平面ADD1A].⑵解析：以D为原点，DA, Dc, DD]的方向为x, y, 所示的空间直角坐标系，则 A(4k,0,0), C(0,6k,0), B](4k,3k,l), A](4k,0,1),所以AC=(—4k,6k,0), AB1 = (0,3k,1), ^ = (0,0,1).—BAC・ n = 0,设平面ABC的法向量n = (x, y, z),则由]
§，"氐)，连接AM、MC1,有MC] = (—哈，0, o) AB=(0, a,0), AA1 = (0,0,j'2a).vmc1^AB=o, Mc1^AA1=o,TABRAA1=A 且 ABu平面 AA1B1B, AA1u平面 AA1B1B,.•・MC]丄平面AA1B1B,.•・ZC]AM是AC1与侧面AA1B1B所成的角.•.•运=(_吕,2，V2a), AM=(o, a，V2a),—> —> 22 9a2• .ACfA^M=O+~4+2a2= 4 .・•・0)，则 B(x,2,0), E(, 2， °)，则 PE=(x,12,_3 5/3由 PE丄CE 得PE CE=0,即 x2_4=0,故 x=专.作 DG丄PC,可设 G(0, y, z).由DG・PC=0 得(0, y, z)・(0,2,_V2) = 0,2 L即z=V2y，又由G在PC上，得z=_学了十逅,“ 2 沁 — 2 应故 y=3, z=〒,DG=(0,亍，才)，作 EF丄PC 于 F,设 F(0, m, n),则 EF=(—¥，1m_2,由EF・Pc=032，m_2，n)(0,2,_V2) = 0,即 2m — 1 — ■\'2n = 0,2又由F在PC上得n=_亍血+丫2,—I ——. —>因 EF丄PC, DG丄PC,故E-PC-D的平面角0的大小为向量EF与DG的夹角.DGEF 迈 n 故C0S吐丽禹=宁，0=4点评：利用空间向量求二面角的方法：设n1，n2分别是平面a 0的法向量，则向量n1与叫的夹角(或其补角) 就是两个平面夹角的大小，求解步骤如下：①依据题设条件建立适当的空间直角坐标系；②求出两个平面的法向量In ・ n |n1, n2；③由cos 0=诂苻求n2所成的锐角0；④若二面角的平面角为锐角，则0为所求，若二面角的平面角为 钝角，则n—0为所求.【巩固】如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.(1)求证：平面PAC丄平面PBC；⑵若AB = 2, AC=1, PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(1)证明：由AB是圆的直径，得AC丄BC,由PA丄平面ABC，BCu平面ABC，得PA丄BC.又 P4CAC=A, PAu平面 PAC, ACu平面 PAC,所以BC丄平面PAC. 因为BCu平面PBC,所以平面PBC丄平面PAC.(2)解析：过C作CMUAP，则CM丄平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为 AB=2, AC=1,所以 BC= E.因为 PA=1,所以 A(0,1,0), BC；3, 0,0), P(0,1,1)・ 故CB=(込，0,0), CP=(0,1,1).设平面BCP的法向量为n1 = (x, y, z),CB n.=0, [V3x=0,贝M 1 所以]n1=0, ly+z=°，不妨令y=1,则n1 = (0,1,—1)・ 因为AP=(0,0,1), AB=(力，一1,0), 设平面ABP的法向量为n2=(x, y, z),AB n2=0,AP. n2=0,不妨令x=1,则 n2=(l, £3, 0). 于是 cos〈"i，n2〉=£=¥・所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为乎.一、选择题21. 设n1, n分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若 n n^=2n，则此二面角的大小为 2. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1与AA1所成角的余弦为(D. 1答案：A3. 平面a的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1), = (0,1,1),则斜线l与平面a所成的角为()A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°解析：l与a所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a, 〃〉=盘寻=1， 所以〈a, b〉=60°.故选C.答案：C4. 已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,—3,4)和B(9,2,1),贝V线段AB()A. 与平面xOy平行B. 与平面xOz平行C. 与平面zOy平行D. 与平面xOy或zOy平行答案：C5. 从空间一点P向二面角a-l-0的两个半平面a, B分别作垂线PE, PF,垂足分别为E, F,若二面角a-l-卩的大小〉的大小为()B. 120°D. 60°为 60°,贝^〈 PF, PEA. 30°或 150°C. 60°或 120°答案：C6・在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两 个向量分别为(0,—1,3), (2,2,4)，则这个二面角的余弦值为B.\'T56C迈C, 3D.以上都不对解析：因为(0,一1, 3——2' 2' “—-—■ ，所以这个二面 角的余弦值为斗5或一计5.故选 D.1+9^74+4+16答案：D7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,A呼C垂C. 2则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为()D浮8.解析：设正三棱柱ABCA1B1C1所有棱长均为1,以B为原点建立空间直角坐标系(如右图),则 C1(0,1,1)，0)AC=(—血丄又平面BB1C1C的法向量“ = (1,0,0),3 IAC • n| 2所以AC1与平面BB1。