几何概型【学习目标】1. 了解几何概型的概念及基本特点；2. 熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3. 会进行简单的几何概率计算；4. 能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点一：几何概型1. 几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每 一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2. 几何概型的基本特点：(1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2) 每个基本事件出现的可能性相等.3. 几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域d内"为事件A，则事件A发生的概率P( A)d的测度 D的测度.说明：(1) D的测度不为0 ；(2 )其中”测度”的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的”测度”分别 是长度，面积和体积.(3) 区域为＂开区域＂；(4) 区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只 与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1) 设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落段l上的点数与线段l的长度成正比， 而与线段l段L上的相对位置无关，则点落段l上的概率为：P= I的长度/L的长度(2) 设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面 积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积(3) 设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的 体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=v的体积/V的体积要点二：均匀随机数的产生1. 随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我 们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的 作用.2. 随机数的产生方法(1) 实例法. 包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2) 计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND函数都能产生0〜1之间的均匀随机数.(3) 计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1•在区间［a, b］上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以 取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体 现了数学知识的应用价值.3. 用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通 过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的 均匀随机点的个数之比来解决.4•利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)+a,可以产生任意区间［a, b］上的均匀随机数.【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．取 1根长为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多 大？【思路点拨】从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意 一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位 置所处的绳子的长度有关，符合几何概型的条件。
答案】1【解析】如图所示，AB=3 m, AC=BD=1 m,设事件M={剪得的两段绳长都不小于1 m},则事件M 发生时，剪断位置应位于线段CD上.・•・P(M) = 1，即剪得的两段长都不小于1 m的概率为1 .【总结升华】我们将这个基本事件理解为从某个特定的几何区域上随机地取一点，该 区域中的每一点被取得的机会都一样，一个随机事件的发生可理解为恰好取到上述区域内 某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解．举一反三：【变式1】一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子 都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率.3【答案】5【解析】若把距离绳AB首尾两端1米的点记作M、N,则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在 线段MN上.用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率.3所以 P(T) = 5 •S【变式2】在面积为S的厶ABC的边AB上任取一点卩，则厶PBC的面积大于丁的概率为( ).4D．A．【答案】C类型二：与面积有关的几何概型问题例2.如图，在直角坐标系内，射线0T落在60°的终边上，任作一条射线OA, 求射线OA落在ZxOT内的概率.【思路点拨】以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都 I是等可能的，落在ZxOT内的概率只与ZxOT的大小有关，符合几何概型的条件.1【答案】-6【解析】记B=｛射线OA落在ZxOT内｝.•.•ZxOT=60°【总结升华】此题的关键是搞清过点O可以在平面内任意作射线OA,而且是均匀的，因而基本事 件的发生是等可能的.例3.(2015 秋 贵州凯里市期中)已知一个等边三角形的三边长为6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不 考虑蚂蚁的大小，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2 的概率.【思路点拨】根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A,则其对立事件为“蚂 蚁与三角形的三个顶点的距离不超过 2”，先求得边长为 6 的等边三角形的面积，由几何概型可得P(A)，进而由对立事件的概率性质，可得答案.【答案】1-2再27【解析】记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A,则其对立事件A为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过2”，边长为6的等边三角形的面积为S = x 62 = 9运，4则事件A构成的区域面积为S (A)=—x兀 x 22 =2兀 2*3兀由几何概型的概率公式得P( A) = 1 - P( A) = 1 - 丽=—-三7—【总结升华】本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时如需要计算不规则图形的面积， 可用间接法.举一反三：【变式1】如图，在一个边长为3 cm的大正方形内部画一个边长为2 cm的小正方形，问在大正方形内 随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率.4【答案】9【解析】 记A=｛所投点落人小正方形内｝,S小正方形=22=4 (cm。
S大正方形=32=9(cmP( A)=S4小正方形二-S 9大正方形【变式2】在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ZACB内部任作一条射线CM,与线段AB交 于点M,求AMVAC的概率.3【答案】-4【解析】 由题意知射线CM在ZACB内是等可能分布的.如图所示，段AB上取ACz =AC,连接CC,贝yZACC =67.5设事件D={AMVAC}，则事件D的度量为ZACCS而随机事件总的度量为ZACB.ZACC' 67.5 3.•・ P(D)= = =—.ZACB 90 43•••AMVAC的概率为二.4类型三：与体积有关的几何概型问题【高清课堂：几何概型 例 3】例 4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1 升水，含有病毒的概率是多大？【思路点拨】病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域， 5 升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率答案】0.2【解析】设事件A = “取出的1L含有病毒的水” •卩=1(L),卩二5(L),A Q总结升华】在概率问题中，与体积有关或可以转化为三维空间的，可以采取几何概型的方法去解决.直接与体积有关的，可直接计算，有时需要先进行转化成三维空间，然后利用几何概型.举一反三：【变式 1】段［0， 1］上任意投三个点，问由 0 至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形 这两个事件中哪一个事件的概率大.CADO【答案】2【解析】设0到三点的三线段长分别为x, y, z,即相应的右端 点坐标为x, y, z,显然0 < x, y,z < 1，这三条线段构成三角形的 充要条件是：x + y > z, x + z > y, y + z > x.段［0, 1］上任意投三点 x, y, z 与立方体 0< x<1,0 < y < 1, 0 < z < 1中的点(x,y,z) 对应，可见所求“构成三 角形”的概率，等价于x边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在x + y > z,x + z > y, y + z > x区域中的概率；这也就是落在图中由△ ADC , △ ADB , △ BDC , △ A0C , △ A0B , △ B0C所围成的区域G中的概率.由于V (T) = 1,V (G)=13 -3 31 x 卜13=2V (G) = 1V (T) _ 2由此得 能与不能构成三角形两事件的概率一样大.类型四：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率例5.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,利用随机模拟法试求这个 正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.【思路点拨】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12 cm长的线段上任取一点M,求使得 AM 的长度介于 6 cm 与 9 cm 之间的概率.【解析】(1)用计算器产生一组［0 1］内的均匀随机数 a1=RAND.(2) 经过伸缩变换，3=12曹得到一组［0, 12］内的均匀随机数.(3) 统计试验总次数 N 和［6， 9］内随机数的个数 N1．N(4) 计算频率•记事件A=｛正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间｝=｛正方形的边长介于6 cm与9 cm之间｝，则P N1(A)的近似值为f (A) = -N- = 4 .【总结升华】用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数 的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；用计算机 产生随机数。
可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验， 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．举一反三：【变式1】(2015春 河北石家庄期末)在区间［0, 1］上随机地取两个数x, y组成点P (x, y),求满足x2 + y2 < 1的事件概率.【思路点拨】该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整个区 域的面积,最后利用概率公式解之即可.兀【答案】7【解析】由题意可得［0 < x<1的区域为边长为1的正方形，面积为1,10 < y < 1•・• x2 + y2 < 1的区域是圆的内部的阴影区域，其面积S = 1兀，4・•・在区间［0,1］上随机地取两个数x，y组成点P (x，y)，r 兀求满足x2 + y2 < 1的事件概率为—4。