精品资料高考真题备选题库第8章 平面解析几何第8节 圆锥曲线的综合问题考点 直线与圆锥曲线的位置关系1．（2013安徽，13分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点 D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．解：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力及运算求解能力．(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4.从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意，知E点坐标为(x0,0)．设D(xD,0)，则＝(x0，－2)，＝(xD，－2)．由AD⊥AE知，·＝0，即xDx0＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG＝＝.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①从而kQG＝－.故直线QG的方程为y＝－.②将②代入椭圆C方程，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0，解得x＝x0，y＝y0.即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．2．（2013北京，14分）直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．解：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、函数与方程的思想，意在考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合能力．(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以|AC|＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．3．（2013湖南，13分）已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．解：本题主要考查椭圆的几何性质、圆的方程、弦长和弦长最值的求解，意在考查考生的计算能力、数据处理能力和转化能力．(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝.所以b＝2＝.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.于是a＝＝＝＝＝.从而ab＝＝＝≤＝2.当且仅当＝，即m＝±时等号成立．故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.4．（2013江西，13分）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．解：本题主要考查利用待定系数法求椭圆的方程，考查直线、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在考查推理论证能力与理性思维能力．(1)因为e＝＝，所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①把①代入＋y2＝1，解得P.直线AD的方程为：y＝x＋1.②①与②联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知＝，解得N.所以MN的斜率为m＝＝＝，则2m－k＝－k＝(定值)．法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝，直线AD的方程为：y＝(x＋2)，直线BP的方程为：y＝(x－2)，直线DP的方程为：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1，可得N联立解得M，因此MN的斜率为m＝＝＝＝，所以2m－k＝－＝＝＝＝(定值)．5．（2013广东，14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解：本题主要考查点到直线距离公式的运用、直线与圆锥曲线的位置关系及解析几何中的最值问题，意在考查考生运用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力．(1)∵抛物线C的焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，∴＝，得c＝1，∴F(0,1)，即抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝4y得y′＝x，∴切线PA：y－y1＝x1(x－x1)，有y＝x1x－x＋y1，而x＝4y1，即切线PA：y＝x1x－y1，同理可得切线PB：y＝x2x－y2.∵两切线均过定点P(x0，y0)，∴y0＝x1x0－y1，y0＝x2x0－y2，由以上两式知点A，B均在直线y0＝xx0－y上，∴直线AB的方程为y0＝xx0－y，即y＝x0x－y0.(3)设点P的坐标为(x′，y′)，由x′－y′－2＝0，得x′＝y′＋2，则|AF|·|BF|＝·＝·＝·＝(y1＋1)·(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.由得y2＋(2y′－x′2)y＋y′2＝0，有y1＋y2＝x′2－2y′，y1y2＝y′2，∴|AF|·|BF|＝y′2＋x′2－2y′＋1＝y′2＋(y′＋2)2－2y′＋1＝22＋，当y′＝－，x′＝时，即P时，|AF|·|BF|取得最小值.6．（2013辽宁，12分）如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O.)解：本题主要考查抛物线的标准方程，求导运算、直线的点斜式方程，以及求轨迹方程，意在考查考生利用导数知识解决圆锥曲线问题的能力，以及处理直线与圆锥曲线的位置关系的熟练程度和运算化简能力．(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为.故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，①y0＝－＝－.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③y＝.④切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋，⑤y＝(x－x2)＋.⑥由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.7．（2012辽宁，5分）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )A．1 B．3C．－4 D．－8解析：因为P，Q两点的横坐标分别为4，－2，且P，Q两点都在抛物线y＝x2上，所以P(4,8)，Q(－2,2)．因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，则直线PA，QA的方程联立得，即，可得A点坐标为(1，－4)．答案：C8．（2010山东，5分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入得：y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案：B9．（2012新课标全国，12分）设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.10．（2012广东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F1(－1,0)，知a2－b2＝1，又根据点P(0,1)在椭圆上，知b＝1，所以a＝，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k。
