2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微 积 分一、函数、极限、连续考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性 复合函数．反函数．分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1． 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．1)、于集、集合运算法则、直积、满射、单射、一一映射、逆射、单值函数、多值函数2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．1)奇函数加偶函数等于非奇非偶函数2）并非每个周期函数都有最小正周期，如狄利克雷函数3）单射才有反函数3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．1）、双曲、反双曲函数及其图形2）、对数、指数、三角、幂函数及其图形sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan(α＋β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α－β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)和差化积sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．1)、极限唯一性、有界性（局部有界性）、保号性（局部保号性）、收敛数列及其子数列关系（函数极限与数列极限关系6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．1)、无穷小、无穷大、有界函数、常数之间的运算规律2)、极限之间的运算关系及大小比较3）、复合函数的极限运算法则4）、 5）、夹逼准则、单调有界准则、柯西极限存在准则7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．1)、无穷小的极限存在定义2）、无穷小与无穷大的关系定义3）、关于高阶无穷小的等价无穷小、无穷小求极限定义8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．1)、跳跃间断点、可去间断点（第一类）、无穷间断点、震荡间断点（第二类）9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．题型汇总与技巧1、 求数列、函数极限1）、利用各类运算法则进行恒等变形（尤其注意三角函数的恒等变形）2)、对于0/0,∞/∞型，对于可消去分子分母中为0，无穷大的因子，也可利用罗比达法则进行求导运算、或者利用等价无穷小替换。
3）、对于0*∞型将其化为第二类形式进行运算4）、对于1^∞型或0^∞未定式，可化为e的指数形式进行求解5）、当x或n—∞时，将各因子的分母化为递增函数6）、将函数化为两个重要极限的形式进行求解7）、利用夹逼法则求数列或函数的极限10）、对于变量比较复杂的数列或函数，通过变量替换将其简化11）、以上各种方法中，无穷小和罗比达法则只能用于函数求极限，若要在数列极限中应用，需通过12）转化，其他技巧在求函数和数列极限时都可以通用12）、通过函数求函数数列的极限或通过数列求子数列的极限13）、若函数f（x）或数列a(n)存在不为0的极限，g（x）或b(n)极限不存在也不为无穷大，则将两者作各种运算其极限都不存在也不为∞，若两个函数都不存在也不为∞，则需作具体分析14）、求复合函数lim f[g(x)]极限，函数符号与极限可以交换次序15）、通过递归数列求数列极限16)、利用导数定义求函数极限2、对于含变限积分的不定式的极限，一般通过罗比达法则将积分化为函数求解1）、通过观察积分是否为0或无穷大，若是，通过罗比达法则求解2）、如果积分函数里面含有自变量，则通过变量代换将x置换出积分函数2、 求含有参数的数列或函数的极限1）、需考虑参数的不同取值而分类求极限的值3、 通过极限值求函数或数列的参数1）、若极限值为0或∞，根据无穷小与常数的运算法则反推参数2）、4、 闭区间上连续函数的性质 1）、一般将区间端点上的函数值化为异号的数2）、可以将等式两边的项移到一边构造一个函数5、 求函数的连续性及间断点类型1）、首先需列出函数的定义域，并观察出定义不存在的点6、 在定义不存在的点求其左右极限二、一元函数微分学考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（LHospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．1)、导数与单侧导数的定义，两种表达方式，限定条件及导函数的定义2)、边际成本、边际收益、总利润函数，总收益函数、边际利润、总成本函数、需求函数、弹性等3）、用显示方程和隐式方程表示的平面曲线4）、求目标函数的最大值和最小值问题2.掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数．1)、理解反函数的求导法则2)、各初等函数的求导公式3）、复合函数求导法则：幂指函数求导、反函数求导、隐函数求导和变限积分求导3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．1)、简单初等函数的n阶导数公式2）、高阶导数的四则运算法则（和、差、积-也即莱布尼茨公式）3）、二项式定理 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．1)、微分的四则运算法则2）、复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．1)、费马引理2）、罗尔定理及拉格朗日定理的限制条件、几何意义及证明过程3)、常数函数判定定理3）、有限增量定理及其公式4）、泰勒公式（带拉格朗日余项及佩亚诺余项），麦克劳林公式（带拉格朗日余项及佩亚诺余项）5）、四个基本初等函数在x=0处的n阶麦克劳林公式6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．1)、区间上函数单调性的定义及判别法则2）、极值点、驻点、拐点的定义3）、极值点的必要条件及第一充分条件、第二充分条件4）、通过导数求函数极值点及其极值的四步法8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数．当 时， 的图形是凹的；当 时， 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．1）、函数图形凹凸性的定义2)、区间上函数凹凸型的判定法则（两个，见复习全书）3）、拐点的充分判定定理9．会描述简单函数的图形．1）、利用导数作函数图形的五步法（见教材）2）、求渐近线的方法（见复习全书）题型汇总与技巧1、三、一元函数积分学考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值 二重积分的概念．基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径．。