第13讲 三角恒等变换 三大问题满分晋级 三角函数8级三角恒等变换三大问题三角函数7级和差角公式和二倍角公式三角函数9级解三角形13.1三角公式灵活运用知识点睛1．两角和与差的余弦公式 2．两角和与差的正弦公式 3．两角和与差的正切公式 ．4．二倍角公式．．．<教师备案>三角变换中常用的数学思想方法技巧有：⑴角的变换：比如：，⑵函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；⑶常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：；⑷幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法，常用的降幂公式有：，，但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如：；；⑸公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：．经典精讲考点1：给值求角问题<教师备案> 对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后判断该角所在的范围，求出角．有时候呢，角度所在范围如果比较大，或者难以求出时，就需要考虑缩小角的范围再做．【铺垫】 ⑴已知是三角形的内角，且，则等于（ ）A． B． C．或 D．⑵ 已知均为锐角，且，则 ．⑶ 已知均为锐角，且，则 ．【解析】 ⑴ C⑵ 法一：由已知得，，又由于，∴，∴∴．∴．法二：由已知得，又．【点评】 本题法二较法一更快捷，在涉及到的仅仅是的角的三角函数值问题时，一般余弦较快．⑶ ，又，故，从而．【例1】 ⑴已知，，求角.⑵已知均为锐角，且，则 ．⑶（目标班专用）已知，，，求的值．【解析】 ⑴ ；∵，∴．且，∴，∴．⑵ ；，，，又，，，．⑶ ；∵又由，∴，．①由，，∴．得到． ②由①．②知．∵∴．<教师备案>此类题容易产生多解．有两点需要注意：⑴ 灵活选择恰当的三角函数名，比如内角余弦和正切比正弦好用，如三角形内角问题．⑵ 尽可能的将角的范围精确些，再结合三角函数值确定角．具体方法都不止一种．难点是确定角的范围以及选择恰当的三角函数．对于角的变形，可变形为，，等．考点2：角的代换<教师备案>在做角的代换时，一般的方向都是减少角的数量，要么转化成特殊角，要么用已知角代换目标角.【例2】 ⑴求值；⑵求的值；⑶（目标班专用）求的值．【解析】 ⑴；原式． ⑵；原式．⑶；原式=．【备选】已知，，求证：【解析】 分析：注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.法一：法二：由已知得，代入右边要求，又有两种不同的方法：①② ∴【例3】 ⑴已知为锐角，且，则的值为 ．⑵已知、均为钝角，且，，则．⑶已知，，则的值为 ．⑷ (目标班专用)（2012江苏11）若是锐角，，则= .【解析】 ⑴ 分析：对已知等式左边若用公式，则有，∵，需解一个关于的无理方程，所以此法不妥．若注意已知条件中的角和欲求值的角之间有关系，就可以运用公式求解．∵，∴，∴，∴．⑵ ∵、，∴，∴，∵，，∴．∴⑶ ．⑷ ；，是锐角，可得，又，则，所以.．【备选】已知，．⑴ 求的值；⑵ 求的值．【解析】 ⑴ 解法一：因为，所以，于是．．解法二：由题设得，即．又，从而，解得或．因为，所以．⑵ 因为，故．，．所以．13.2辅助角公式的应用考点3：辅助角公式知识点睛<教师备案>在求的最大值时，我们遇到很大的困难，因为和相互关联，不能把两者的最大值简单相加．我们希望能够把它化简成的形式，因此，引入辅助角公式．辅助角公式：，其中，所在的象限由的符号确定．<教师备案> 对于求式子的最大值，我们可以快速简便的化简成，因为这是一个特殊角．但是对于形如的式子，本身没有关系，无法直接化简．此时，延续之前的思路，我们便构造出，逆用两角和与差的公式，把两个角变成一个角，就方便处理了．具体方法是：，可令如右图所示，点满足要求，，所在象限由点决定.这是最一般的情况，但是我们使用起来并不方便，比如，如果都是负数，此时是第三象限角．而我们从三角函数诱导公式开始，就习惯于是第一象限角，所以对于辅助角公式，在运用时，我们会做小小的变形，尽量让是第一象限角．观察以下两个例子：⑴；⑵．由此可见，辅助角公式得到的结果并不唯一，只是我们通常选择化为自己熟悉的形式．如果不是特殊角，如，我们也可以得利用辅助角公式得到：，其中．经典精讲【铺垫】 （2010西城一模理2）函数的最小值和最小正周期分别是( )．A． B． C． D．【解析】 A．【例4】 ⑴函数在区间上的最大值是( )A． B． C． D．⑵函数的最小值和最小正周期分别是( )．A． B． C． D．⑶（目标班专用）已知，则的值为 ．【解析】 ⑴ C由，∴，∴，∴函数的最大值为．⑵ .⑶ ，，，又．【例5】 ⑴已知函数的图象关于对称，则_____．⑵（2013新课标全国）设当时，函数取得最大值，则_____．⑶（目标班专用）已知函数（，为常数，，）在得最小值，则函数______．【解析】 ⑴ ；，图象关于对称，可知，，则⑵ ；，其中，由题意，当时，函数取得最大值，此时，则.⑶ ，由题意知：．∴∴．【例6】 （2010天津理17）已知函数⑴ 求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；⑵ 若，，求的值．【解析】 ⑴ 由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为．⑵ 由⑴可知，又因为，所以，由，得，从而，所以．【例7】 （2012北京理15）已知函数．⑴ 求的定义域及最小正周期；⑵ 求的单调递增区间．【解析】 ⑴ 由得，故的定义域为.因为所以的最小正周期⑵ 函数的单调递增区间为，由，得，所以的单调递增区间为和<教师备案>该模块不是高考要求，个别公立学校会讲，我们安排在这里供目标班选讲，学生版不出现．积化和差公式的引入16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言．德国数学家约翰维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即, .这大大简化了三角函数连乘的计算．比如，计算，可以从三角函数表查出，．但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错．（请你不用计算器，手算一下，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式：，计算就大大简便了,只需要查三角函数表得到这两个的值，做个减法就得到答案．积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或减乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果．积化和差与和差化积（选讲）知识点睛1. 积化和差公式：<教师备案>积化和差公式的证明可以直接将右边展开得到左边．2. 和差化积公式：<教师备案>和差化积公式推导，可以将左边的与分别写成，，再展开合并即得到右边的式子．讲完这些公式就可以让学生做铺垫，简单练习一下，可以帮助大家熟悉公式的形式．然后，老师再给学生讲例题．经典精讲【铺垫】计算：①；②．【解析】 ①；②．【例题】⑴计算：．⑵已知求的值.⑶设，又是的最大值，是的最大值，求．⑷已知，求的值．【解析】 ⑴;原式．⑵;原式.∵∴上式．⑶∵∴（以上两式均当且仅当时等号成立）故.⑷；，，又<教师备案>公式变形在方向不确定时是一件很困难的事情，有时需要多次尝试才能找到一个合适的可以化简的方向，比如下面这题就相当有难度：【拓展】求的值．【解析】 ;法一：原式．法二：原式．13.3三角函数与二次函数复合考点4：形如（）型的函数知识点睛主要研究两类与二次函数相关的函数形式，第一类如下：⑴形如（或）型的函数；<教师备案> 这类问题通常是用配方法求最值，但要注意三角函数的取值限制，进行分类讨论．【推导】求的最大值和最小值（其中、为常数）．【解析】 ．①若，即，则当时，有；最大值在或时取得，需比较．②若，即，则当时，；当时，．③若，即，则当时，；当时，．如图甲、乙、丙所示．经典精讲【铺垫】 ⑴的最小值为_________．⑵的最小值为_________．【解析】 ⑴；，当时，．⑵；，当时，．【例8】 ⑴函数的最大值是_________．⑵函数的值域是_____________．⑶若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是_______．⑷ (目标班专用)若函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围为______．【解析】 ⑴ ；，当时，有；⑵ ；，当时，有；当或时，有，故．⑶ ；令，∵，∴．法一：，．∴的取值范围为．法二：原方程可化为，设，∵对称轴为，在上单调递增．在内有零点，则有．⑷ ；由可以取到知；又的最大值一定在端点处取到，而，故当且仅当，所给函数在处取到最大值．解得．综上知．【备选】已知函数，．⑴若在区间上的最大值为，则______．⑵若在区间上的最小值为，则的取值范围为___________．【解析】 ，在上单调递增；又当时，单调递增，且，故当时，有单调递增．⑴；当时，，此时；由函数在上单调递增知，只能等于；⑵；当时，；当时，．当时，，此时；当时，的最小值将小于，不符合题意，故，综上知．考点5：形如型的函数知识点睛⑵ 形如型的函数．<教师备案> 解决此类问题主要是利用公式进行换元．【推导】求的最大值和最小值（其中、为常数）．【解析】 令，则，从而．从而．要求这个函数的最值，需要讨论与的大小关系．经典精讲【铺垫】 ⑴ 函数的最大值为多少？⑵ 求函数的值域．【解析】 ⑴ 设，则，即，．∴．∴当时，有．⑵ 令，则，得到．．，∴．当时。