学习必备 欢迎下载 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 考研数学典型例题解读 极限篇 如何利用教材进行有效的复习， 是大部分同学面临的主要问题 考研数学主要是对同学们“三基”的考查，因此复习数学的时候要抓住教材，好好利用教材怎样才能更有效地利用教材进行复习，下面就如何来复习教材中的典型例题进行解读 本文主要的目的：教会如何更有效地读懂例题、利用例题及模仿例题；学习如何来复习理解数学及解题方法 注：本文以同济五版《高等数学》为蓝本 极限 【求分式极限( )lim( )xx整体思路】共分为三种情况： （令( )lim( )xIx） （1）若lim( )0x，则有lim( )lim( )xIx； （2）若lim( )0x，lim( )0x，则有I ； （3）若lim( )0x，lim( )0x，则属于00型未定式，则可用罗比达法则、等价无穷小代换等进行求解 求解分式极限时，首先要快速判断属于（1） （2） （3）哪种情况，对号入座，然后决定解决问题的方法及方式 例 1 （P58 例 5）求1230(1)1limcos1xxx 解：当0x 时，123(1)1x～213x，cos1x～212x，所以 12230021(1)123limlim1cos132xxxxxx 【解读】当0x 时， 【注释 1：说等价无穷小时，一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小，这是因为等价无穷小是用极限来定义的；此处说的是“当0x 时” 。
】 123(1)1x～213x， 学习必备 欢迎下载 【注释 2：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式11x ～1 (0)2xx 和11nx ～1 (0)xxn（此处也可以写成11 ～1 (0)2和11n ～1 (0)n） ，由此套用公式立即可以得到 123(1)1x～213x 】 cos1x～212x， 【注释 3：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式1 cos x～21 (0)2xx （此处也可以写成1 cos～21 (0)2） ，由此套用公式立即可以得到cos1x～212x 】 所以 12230021(1)123limlim1cos132xxxxxx 【注释 4：此题完全用等价无穷小代换解决当然也可以用 Taylor 公式进行求解，不过过程比较麻烦一些此题为00型未定式，若用罗比达法则会相当麻烦，不过大家可以尝试一下 】 【注释 5：做完此题后，要掌握注释中的三个等价无穷小代换公式，做到熟练应用，最好能达到条件反射 】 例 2 （P68 例 8）求3sin0lim(12 )xxx 解: 因为 123166ln(1 2 )sin2sinsin(12 )(12 )xxxxxxxxxxe 利用定理 3 及极限的运算法则，便有 120lim 6ln(1 2 )3sin6sin0lim(12 )xxxxxxxxee 【解读】 因为123166ln(1 2 )sin2sinsin(12 )(12 )xxxxxxxxxxe 【注释 1：上式的第一步是要凑出来重要极限，因此要对第二个重要极限的形式非常熟悉才行。
第二个重要极限如下： 10lim 1e和1lim 1e之所以写成这样的形式，是让大家能明白， 只要我们能凑成这两种标准形式之一就可以用这个公式， 不用管□里是什么最后一步应用的是换底公式，见注释 4】 怎样才能更有效地利用教材进行复习下面就如何来复习教材中的典型例极限整体思路共分为三种情况令若则有若则有若则属于型未定式则可用等价无穷小时一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小这是因为等 学习必备 欢迎下载 利用定理 3 及极限的运算法则，便有 【注释 2： 定理 3 表明当外函数连续时， 极限号可以和外函数调换位置， 这里的xe是外函数 】 120lim 6ln(1 2 )3sin6sin0lim(12 )xxxxxxxxee 【注释 3： 极限的运算法则指的是两个乘积函数的极限都存在时可以写成两个函数极限的乘积即1122000lim 6ln(12 )6limlim ln(12 )6 1 16sinsinxxxxxxxxxxx 】 【注释 4：此题总的解题思路是：这是求幂指函数的极限，存在两种情况：一是用第二个重要极限，二是用换底公式。
我们要熟练掌握这两种情况，特别是第二种情况，它的适用范围更广 】 【注释 5：换底公式主要是针对类似于( )( )( ( )0, ( )v xu xu xu x不恒等于1)的幂指函数对于这类函数可以采用以下方式进行求解：( )lim ( )ln( )lim ( )v xv xu xu xe即转化成求 lim ( )ln ( )v xu x的极限 】 例 3 （P136 例 10）求20tanlimsinxxxxx 解：233000tantantanlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxxxxx 222000sec12sectan1tan1limlimlim3633xxxxxxxxxx 【解读】233000tantantanlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxxxxx 【注释 1：通过题目可以看出这是00型极限，所以首先可以考虑用罗比达法则，但是由于分母比较复杂，求导不方便，所以需要进行变换一下再用罗比达法则】 220sec1lim3xxx 【注释 2：对上式应用罗比达法则而得得到的仍然是00型极限。
】 202sectanlim6xxxx 【注释 3：再次应用罗比达法则，这时发现20limsec1xx，0tanlim1xxx（注意这是重要极限0sinlim1xxx的一个变形，最好也要记住） 因此有】 怎样才能更有效地利用教材进行复习下面就如何来复习教材中的典型例极限整体思路共分为三种情况令若则有若则有若则属于型未定式则可用等价无穷小时一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小这是因为等 学习必备 欢迎下载 01tan1lim33xxx 【注释 4：此题给我们一个提示，在使用罗比达法则时，一定要先简化（变换或使用等价无穷小代换） ，以减少运算量 】 【注释 5：此题另外的解法：直接使用等价无穷小代换即可，即由sin x～ (0)xx 将分母变成3x，余下的步骤同上 】 怎样才能更有效地利用教材进行复习下面就如何来复习教材中的典型例极限整体思路共分为三种情况令若则有若则有若则属于型未定式则可用等价无穷小时一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小这是因为等 。