最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为： ，其中 称为目标函数， 称为约束函数，可行域D可以表示为 ，若 ，称x *为问题的局部最优解，若 ，称x *为问题的全局最优解2 ． 设 f(x)= + 5 x ， 则其梯度为 ， 海色矩阵1 1 2 1 2 ，令 x二(1,2)T, d二(1,0)T,则f(x)在X处沿方向d的一阶方向导数为 ，几何意义为 ,二阶方向导数为 ，几何意义为 3．设严格凸二次规划形式为：min f (x) = 2x 2 + 2x 2 一 2x 一 x1 2 1 2s.t. 2 x + x < 112x > 01x >02则其对偶规划为 4•求解无约束最优化问题：min f (x), x g Rn，设xk是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向 d k = 用Newton法求解时，搜索方向dk = 用共轭梯度法求解时，搜索方向 d k = 二．(10分)简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法三．(25 分)计算题1． (10 分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：min f (x) = 2 x 3 一 3 x 2 一 6 x x (x 一 x 一 1).1 1 1 2 1 22． (15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题：min f (x) = x x12s.t. c( x) = x 2 + x 2 — 1 = 012的最优解和相应的乘子。
四． 证明题(共 33分)i. (io分)设f(x) = 2 xtGx + rTx + 6 是正定二次函数，证明一维问题2min 9 (a) = f (xk + adk)的最优步长为a = — Yf(xk)Tdk .k d k T Gd k2．(10分)证明凸规划min f (x), x e D (其中f (x)为严格凸函数，D是凸集)的最优解是唯一的3. (13 分)考虑不等式约束问题min f(x)s.t. c (x) < 0, i e I = {1,2, , m}i其中f (x), c (x)(i e I)具有连续的偏导数，设x是约束问题的可行点，若在x处id满足Vf (x) t d < 0,Vc (x) t d < 0, i e I (x)i则d是x处的可行下降方向《最优化方法》2一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为： ，其中 称为目标函数， 称为约束函数，可行域D可以表示为 ，若 ，称x *为问题的局部最优解，若 ，称x *为问题的全局最优解2． 设 f(x)= x 2 + 2x x — 10x + 5x ， 则 其 梯 度 为 ， 海 色矩阵1 1 2 1 2 ，令元=(1,0)T, d = (1,—1)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为 ，几何意义为 ,二阶 方向导数为 ，几何意义为 3．设严格凸二次规划形式为：min f (x) = x 2 + x 2 一 2 x 一 x1 2 1 2s.t. x + x < 112x > 01x >02则其对偶规划为 。
4.求解无约束最优化问题：min f (x), x g Rn，设xk是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向dk = 用Newton法求解时，搜索方向dk = 用共轭梯度法求解时，搜索方向 d k = 二. (10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点200 字左右)三. (25 分)计算题3. (10 分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：min f (x) = 2 x 3 一 3 x 2 一 6 x x (x 一 x 一 1)・1 1 1 2 1 24. (15 分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题：min f (x) = X xpii=1s.t. c(x) = X x - a = 0ii=1其中 p > 1, a > 0.四. 证明题(共 33分)1.(10 分)设 f (x) = 2- xtGx + rTx + 6 是正定二次函数，证明一维问题2min 9 (a) = f (xk + adk)d k T Gd k的最优步长为a = 一空巴竺.k2．（23分）考虑如下规划问题min f （x）, x e Rns.t. c （x） < 0, i 二 1,2,…，m.i其中f （x）,c （x）（i二1,…,n）是凸函数，证明:i（1） （7 分）上述规划为凸规划；（2） （8分）上述规划的最优解集R *为凸集；（3） （8分）设f （x）,c （x）（i = 1,2,…,n）有连续的一阶偏导数，若x*是iKT点，则x*是上述凸规划问题的全局解。
《最优化方法》试题3一、 填空题1•设f （x）是凸集S U Rn上的一阶可微函数，则f （x）是S上的凸函数 的一阶充要条件是（ ），当 n=2 时，该充要条件的几何意义是（ ）；2•设f （x）是凸集Rn上的二阶可微函数，则f （x）是Rn上的严格凸函数 （ ）（填当 或‘当且仅当’）对任意x e Rn , V 2f （x）是（ ）矩阵；3.已知规划问题minz = x2 + x2 -xx -2x -3x1 2 1 2 1 2 s.t — x — x n —21 9，则在点x =（5,5）t处的6612- x - 5 x n -5 x , x n 01 2 1 2可行方向集为（），下降方向集为（）二、选择题min f = (x - 2)2 + x21.给定问题L.t -x +1x2<0 2，则下列各点属于K-T点的是1 2x - x < 01 2A) (0,0) TB) (1,1)TD)11$2）t2.下列函数中属于严格凸函数的是（A) f (x) = x 2 + 2 x x -10 x + 5 x1 1 2 1 2B)f (x)二 x2 - x312C)(x < 0)2f (x) =2 x2 十 xi x2 十 x2 十2 x2 一6 xi x3D)f (x) = 3 x + 4 x 一 6 x123三、求下列问题min f (x )=1 xi2+1 x2 一5 xi 一10x2s.t 2x 一 3x < 3012x + 4 x < 2012x , x > 012取初始点（0,5 ）r O四、考虑约束优化问题min f (x) =x 2 + 4 x 22s.t. 3x + 4x > 1312用两种惩罚函数法求解。
五．用牛顿法求解二次函数f (x) = (x 一 x + x )2 + (-x + x + x )2 + (x + x 一 x)21 2 3 1 2 3 1 2 3的极小值初始点x0六、证明题1•对无约束凸规划问题minf (x) = 1 xtQx + ctx，设从点x e Rn出发，沿方^2向d e Rn作最优一维搜索，得到步长F和新的点 y = x + td , 试证当dTQd = 1 时，12 = 2[f (x) - f (y)]2•设x* = (x*, x*, x*)T > 0是非线性规划问题min f 2= xi+ 2x2 + 3x3的最优1 2 3 s.. x 4 + x 4 + x 4 = 10123解，试证x*也是非线性规划问题min x：+x4+x4 的最优解，其中xi + 2 x2 + 3 x3 = / *f * = x* + 2 x* + 3 x *1 2 3最优化方法》试题4一、 是非题1. 若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合2・设函数 f(x)G c2 若 Vf (x*) = 0 并且 V2f (x*)半正疋贝U x*是min f (x) 的局部最优解。
3-设x*是min f (x)的局部最优解，则在x*处的下降方向一疋不是可 行方向4. 设x*是min f (x)的局部最优解，则x*是min f (x)的K-T点5. 设函数f (x) e C2，则用最速下降法求解min f (x)时，在迭代点xk处 的搜索方向一疋是f (x)在xk处的下降方向6. 用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点二 在区间［-1,1］上用黄金分割法求函数f (x) = x2 - x + 2的极小点，求 出初始的两个试点及保留区间三、验证点(皿7，―7)T与(0,_3)t是否是规划问题22min f (x) =X 2 + X12S.t X2 + X2 < 912—x — x +1 n 012的 K-T 点对 K-T 点写出相应的 Lagrange 乘子四、用外点法求解min f (x)= (x -1)2 + x212 s.t. x n 12五．用共轭梯度法求解无约束优化问题min x 2 + 2 x 2 + 2 x x 一 x + x1 2 1 2 1 2取初始点x = (0,0) T，精度为10-30六、证明题 1•设集合S u Rn是凸集，f (x),…f (x)是S上的凸函数，令1 kf (x) = max{f (x),…f (x)} x g S1 k证明f (x)也是S上的凸函数。
2•设 X =Jx g Rn |L乞a x >b ,i = 1,•…,m,x >0, j = 1,•…,nij j i jj=1ig ij j i Ij=1J(x) = {j g{1,…，n}l x = 0} j证明：p是x在x处的可行方向的充要条件是L£ a p > 0, i g I (x); p > 0, j g J (x)ij j j最优化方法》试题5填空题1.设 Q 为 n 阶对称 正定矩阵， A 为行 满秩矩阵，则问 题mxn一 1b 的可行解，则在x处有A G Rmxn , x G Rn , b G RmAx = b , A x > b , 其中 A = （ At , At ）t , b = （bT, bT ）t ，则d丰0是x的下降方向1 1 2 2 1 2 1 2的充要条件为（ ），d丰0是x的可行方向的充要条件为（ ）。
二． 运用 0.618 法求min f C）二 x2 - x + 2在区间 [一1,3] 上的极小点要求最终区间长度不。