第5章 粘性流体动力学基本方程组5.1 粘性流体动力学基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律 这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组 但这个方程组是不封闭的，要使其封闭还需加上辅助的物性关系等 一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的 粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性 因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了 这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的 对流体运动的描述有两种方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定理的数学表述也有两种方法，即积分形式和微分形式 本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程 5.1.1 质量守恒定律——连续方程连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式 由于不涉及力的问题，因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效 考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题 根据质量守恒定律，单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量的散度，它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量： (5.1.1)展开后得： (5.1.2)连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。
对于定常流，此式可变为： (5.1.3) (5.1.4)对于不可压缩流，(5.1.2)式变为：即 = 0 (5.1.5)由张量分析的知识可知，是应变量张量的主对角线上三元素之和，恒为常数，表示微元体的体积变化率 式(5.1.5)表示总的体积变化率为零，与流体的不可压缩一致 5.1.2 动量守恒定律——运动方程 粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，可由牛顿第二定律推出 以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量和加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力 对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力（用来表示），它是作用在微元体上所有质量上的力，如重力；另一类为表面力（用来表示），它是作用在微元体界面上的力，如压力、摩擦力等 运动方程可写成如下向量形式： (5.1.6)其中微分符号 (5.1.7)称为物质导数或随体导数，它所代表的是微团的某性质对时间的变化率。
例如，是该微团的速度随时间的变化率，即加速度，亦即 (5.1.8)从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动的非定常性引起，称为当地加速度；右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表示经时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化，称为迁移加速度 式(5.1.6)中的彻体力可表示成： (5.1.9) 在这里彻体力可以看成是已知的外力，而表面力则和流体速度场的变形情况有关 它决定了流体的应力状态 所以我们分别研究流体的应力和应变变化率后，将建立它们之间的关系 为了写出表面力的式子，我们从流体中取出正六面微元体(图5-1) 它的左下方的点的坐标为(x，y，z) 对于垂直于x轴的两个微元面上分别作用了如下的合应力(应力即单位面积上的作用力)：和图 5-1 微元体的应力张量这里的注足x表示x方向上的应力向量，则作用在垂直于x轴的微元面上的应力的合力为： (5.1.10)同样可得作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的应力的合力分别为：，于是可得作用于单位容积的表面力的合力向量为 (5.1.11)式中，和都是向量，还可以把它们沿三个坐标方向分解，即分解为正应力和平行于各微元面的切应力。
例如，作用于与x轴垂直的微元面上的应力可分解为（图5-1）： (5.1.12a)同理有 (5.1.12b) (5.1.12c)式中注足是这样规定的：正应力的注足代表应力的方向，切向力的第一个注足代表与切应力所在平面垂直的方向，第二个注足代表切应力的方向 例如，表示作用在与x轴垂直的平面上沿y向的切应力 由式(5.1.12)可见，要完全描述微元体上应力需要九个标量 这九个标量就组成了应力张量，表示为 (5.1.13)容易证明这个张量是对称的，由式(5.1.11)，(5.1.12)和(5.1.13)可写出如下的单位容积的表面力公式 x方向分量 y方向分量 (5.1.14)yz面上的量xy面上的量zx面上的量 z方向分量 将(5.1.14)式代入(5.1.6)式则得： (5.1.15)此方程是牛顿第二定律的严格表述，没有任何假设。
将广义牛顿粘性应力公式： (5.1.16)代入(5.1.11)式，并运用张量分析中有关应力张量公式和应变变化公式，可得到： (5.1.17)或 (5.1.18)展开得： (5.1.19a) (5.1.19b) (5.1.19c)这就是粘性流体的运动方程，即纳维—斯托克斯方程 由于一般情况下是温度的函数，所以方程很复杂 对于常用的情况，可以不考虑随空间位置的变化，于是可作为常量考虑写到导数之外 方程可进一步改写 例如，对方程的第一个式子可写为： (5.1.20)采用爱因斯坦约定方法方程可进一步写成： (5.1.21)或 (5.1.22)对于不可压缩流体，由于连续方程则运动方程成为： (5.1.23)或 (5.1.24)由矢量公式： (5.1.25)可将公式(5.1.22)和(5.1.24)分别改写为： (5.1.26) (5.1.27)上式通常称为葛罗米柯—兰姆型运动方程。
其中为涡量 图5-2两微元体之间的作用力由公式(5.1.14)、(5.1.17)、(5.1.18)和(5.1.20)可见，与理想流体运动方程相比，粘性流体运动方程增加了粘性应力项 以图5-2所示的以不同流速运动的两微元体为例，对于理想流体，通过界面，微元体只对微元体作用了压力；而对于粘性流体，除正应力外，微元体还对微元体作用了粘性切应力，而且正应力的大小也不等于压力，由牛顿公式可以得到这些就是粘性引起的差别 应当指出，尽管在粘性流体中几乎处处存在粘性应力，但并不是在任何地方它都重要 由公式(5.1.14)、(5.1.17)、(5.1.18)和(5.1.20)可见，只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用 5.1.3 能量守恒——粘性流体的能量方程在这一节中主要分析粘性流体中能量的转换和输运过程，特别是粘性应力在这过程中所起的作用 1.动能方程首先分析描写动能变化的关系 将式(5.1.19)的三个分量分别乘以对应的分速度后相加，可得： (5.1.28)采用取和约定，则上式可记为： (5.1.29)注意则(5.1.29)式可进一步写为： (5.1.30) 本式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率。
右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所作的功 右端第二项是单位时间内粘性力对运动的单位质量流体所输运的机械能 由图5-3可见，上一层流体通过粘性剪切力对微元体所作的功为：而微元体对下层流体所作的功则为，所以微元体净得能量为： (5.1.31)图5-3 粘性力输运机械能则单位体积和单位质量在单位时间内得到的能量分别为和 可见，在这里粘性剪切力起了输运能量的作用 它依次把上一层流体的部分能量输送给下一层 这种输运能量的方式在理想流体中是不存在的 对于粘性正应力也可作类似的计算 不过它不是不同流层之间的能量输运，而是前后微团对微元体所作功的差别 将粘性输运功项进行容积积分，则由斯托克斯定理可得 (5.1.32)其中 ——微元面的单位法向矢量 若积分域为封闭容器，则壁面上，于是由右端可见，整个容积积分为零 这表明粘性力输运能量并不改变容积内能量的总和，它只改变能量在空间的分布 正是在这个意义上称之为输运项 方程(5.1.30)右端第三项是单位时间内压力对单位质量流体所作的功，即流动功 右端第四项中的是体积膨胀率，它与压力p的乘积代表单位时间的膨胀功。
右端第五项是单位时间内粘性力所作的变形功 它与第二项有原则的不同，第二项是通过粘性力所完成的能量输运，它把机械能从这一部分流体输运给另一部分流体，而能量的形式未发生变化 第五项则不同，它类似于固体力学中塑性变形功，它是流体对抵抗变形的粘性力所作的功，它把流体运动的机械能不可逆转的转换为热量而消耗，所以称为耗散项 耗散函数为： (5.1.33) 由此式可见，耗散项总是正的 它在空间的任何位置都将机械能耗散为热能，它属于“源”项（对机械能而言它是负的能源），而不属于输运项 耗散函数可用张量形式写出： (5.1.34)耗散函数表示单位时间单位体积内机械能耗散成的热能 对于不可压流，，则得 (5.1.35)单位质量的耗散率可写为： (5.1.36)不可压缩流为： (5.1.37)可见，耗散率与应变变化率的平方成正比 对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因此产生大的耗散，而在其他区域耗散则很小 对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因此产生很大的耗散。
根据以上分析，可以归结如下：流体微团动能沿迹线的变化率取决于单位时间内彻体力所作的功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素 在任何情况下，粘性耗散总使动能。