复数的几何意义［学习目标］ 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 戸知识轨理 自主学习知识点一 复平面的概念和复数的几何意义1. 复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a, b)唯一确定. 因为有序实数对(a, b)与平面直角坐标系中的点 对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a, b)表示.这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做 , x轴叫做 , y轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2. 复数的几何意义 按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的 每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi—丄一复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.3. 复数集与复平面中的向量的 对应关系在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复 数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定； 反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定•因此，复数集C与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bb -'，平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案 (1)不是.(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.知识点二 复数的模1.如图所示，向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a, b^R)的模，记作Izl或la+bil.如果b=0,b~7\ .0日 工那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于lal(就是a的绝对值)•由模的定义可知：lzl = la+bil = r='Ja2+b2(r三0, r^R).2•复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则⑴lzr z?l = IZiIJZqI， Z1 =iZ+i(lz2l^0)(复数的乘、除法将在下节学习到).1 2 1 2 z2 l z2l 2(2)lzil = lz1ln(n£N*).⑶hzJ — Twlq+z/WlzJ+lz』，等号成立的条件是：①当lz1+z2l = lz1l + lz21时，即z1，z2所对 应的向量同向共线；②当llz1l —lz2ll = lz1+z2时，即z1，z2所对应的向量反向共线.⑷ llzj —lz2llWlZ]—Z2lWlZ]l + lz2l，等号成立的条件是：①当 Z]—Z2l = lZ]l + lz2 时，即 z1，z2 所对 应的向量反向共线；②当llz1l —lz2ll = lz1—z2时，即z1，z2所对应的向量同向共线.思考 复数的模的几何意义是什么？答案 复数z在复平面内对应的点为乙复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于 0 的常数，则：① 满足条件lzl = r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，lzlVr表示圆的内部，lzl>r 表示圆的外部；② 满足条件lz—z0l = r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，为半径的圆，lz—z0lr 表示圆的外部.戸题型探究 重点突醸题型一 复数与复平面内的点例1在复平面内，若复数z=(m2—2m —8)+(m2+3m —10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在 第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y=x上，分别求实数m的取值范围.解 复数 z 二(m2 - 2m - 8) + (m2 + 3m - 10)i 的实部为 m2 - 2m - 8，虚部为 m2 + 3m - 10.(1)由题意得 m2 - 2m -8 = 0.解得m =- 2或m = 4.m2 - 2m - 8 < 0 ,⑵由题意，， 2 0 ,(3) 由题意 ， (m2- 2m- 8)(m2＋3m- 10)<0，. 20，得m< - 3或m>5 ,所以当m< - 3或m>5时，复数z对应的点在x 轴上方 .(2)由 (m2＋5m＋6)＋(m2- 2m- 15)＋4= 0，得 m= 1 或 m=-2 ,所以当m=1或m=-|时，复数z对应的点在直线x + y+ 4 = 0上.题型二 复数的模的几何意义例2设z^C，在复平面内对应点乙试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1) lzl = 2；(2) lWlzlW2.解(1)方法一 lzl = 2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2 ,这样的点Z的 集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二 设z = a + bi ,由lzl = 2，得a2 + b2 = 4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.不等式Izl^l的解集是圆lz匸1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1WIZIW2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合 是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思与感悟 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是Izl表示点Z到原点 的距离，可依据zl满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模 的问题转化为几何问题来解决.跟踪训练2若复数z满足lz—iIW\/2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2n解析 设 z二x + yi(x , y^R)，贝U z - i = x + yi - i = x + (y - 1)i , AIz - iI = x2 + (y - 1)2，由lz-ilW迈知x2 + (y - 1)20。
x2 + (y - 1)2W2,・・复数z对应的点(x ,y)构成以(0,1)为圆心，2 为半径的圆面(含边界)，A所求图形的面积为S = 2n.故填2n.题型三 复数的模及其应用例3已知复数z=3+ai，且lzl<4,求实数a的取值范围.解方法一Vz = 3 + ai(a£R),A Izl = 32 + a2 ,由已知得 32+ a2<42，A a2<7， A a 丘(-V7，诟).方法二 利用复数的几何意义，由Izlv4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为 半径的圆内(不包括边界)，42由z = 3 + ai知z对应的点在直线x = 3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知:-V7va