4.1.2数列的递推公式教学设计课题4.1.2数列的递推公式单元第一单元学科数学年级高二教材分析本 节 课 是2019版 高 中 数 学（人教版）选择性必修第二册，第 四 章 数列里的内容，这一节课主要学习数列的递推公式主要知识点有数列的递推公式、通项公式与递推公式的区别和 联 系、数 列 前n项 和 的 定 义 及 前n项和公式等教学目 标与核 心素养1数学抽象：递推公式的概念、数 列 前n项和的概念；2逻辑推理：用递推公式解决有关问题、前n项和与通项的关系；3数学运算：用递推公式求数列的项及通项、前n项 和 公 式；4数学建模：递推公式的概念.重点数列的递推公式、前n项和与通项的关系.难点用递推公式解决有关问题、用 数 列 的 前n项和与通项的关系求通项公式.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复 习：1数列的概念是？一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数歹!J,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2数列的表示主要有？通项公式法列表法图象法一般表示法3数列的通项公式是？如果数列 斯 的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.问题：1什么叫数列的递推公式？2由数列的递推公式能否求出数列的项？复习导入复 习 上 一 节 所 学的 内 容，为本节课 的 继 续 学 习 奠定基础提 出 本 节 课 的 主要 内 容，让学生带着问题听课讲授新课例 3 如果数列%的通项公式为a”=兀 之+2n,那 么 1 20是不是这个数列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列 an 中的项，就是要回答是否存在正整数n,使得/+2n=120.也就是判断上述关于n 的方程是否有正整数解.解：令 小+2n=120,解这个关于n 的方程，得 n=T2(舍去)，或 n=10.所以，120是数列 a j 中的项，是 第 10项.新知探究例 4 图 4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图形4 个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4 项，写出这个数列的一个通项公式.A 盒(2)O)(4)图 4.13解：在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4 项都是3 的指数累，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是an=3rlt 换个角度观察图4.1-3中的4 个图形.可以发现，%=1,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3 个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第2 个图形开始，每个图形中着色三角形的通过例题，进一步深化学生对数列概念的理解和运用。
发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养通过具体问题的思考、分析，引导个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例 4中的数列的前4项满足Q =1,=3(1 ,Q 3 =32，=33 .由此猜测这个数列满足公式c f l,n =11 3 c i n-i ，n 2像 斯=3 a n-i(n N 2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表小，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.数列的递推公式1概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式2 概念解析：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的 数 列.(若 存 在 一 个 正 整 数t,使 得 V n N*,0n+t=,则数列5)为周期数列,其周期为t)通项公式与递推公式的区别和联系学生认识数列中的递推公式。
发展 学 生 数 学 抽象、数学建模的核心素养区别联系通项公式1直接反映了册与n之间的关系，即a九是n的函数，an=/（n）：2知道任意一个具体的n值的，就可以求出该项的值以1都可以一个确定数列2也都可以求出数列的任意一项递推公式1间接反 映 了 与n之间的关系，它是数列任意两项（或多项）相邻项之间的关系式,不能由n直接得出a”；2可根据第1项（或前几项）的值，通过一次（或多次 赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的每例5已知数列 a的首项为的=1,递推公式为 每=1+二一（n 2）,写出这个数列的前5项.解：由题意可知Q1=1,a22=1 4-=1+-=2,1Q3=1-=-=2 2 2.1 一 2 5a4=13 =1+-3=3de=_ 1.H,1=_ Id d.3=_ 8.a4 5 5数列前n项和的定义、前n项和公式1把数列 a 3从 第1项起到第n项止的各项乙和，称为数列 a“的前n项和，记作Sn,即 S“=a 1+a2+的 2如果数列 a n）的前n项和S”与它的序号n Z间的时应关系可以用一个式 来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.数列的通项与前11项和显 然S i =%,而Sn_i=Qi+。
2-h Qn-i(n 2),于是我们有_ (5 in=1,%一(S-Sn_,n 2注：(1)已知数列 a.的前n项和土,求的,一般用公式a n =Sn-Sn_ ,n 2 ,但必须注意它成立的条件是(n 2 2,且n e N*)(2)由Sn-Sn,1求 即 时，若当n=l,即 的值不等于S i的值，则数列的通项公式应采用分段表示，即：_ (S i H =1,an=l Sn-Sn_i,n 2思考已知数列 an的前n项和公式为5n=彦+几，你能求出 an的通项公式吗？解答：因 为%=S =2 ,O n =S九一Sn_ i=n2 4-n (n l)2 4-(n -1)=2 n (n 2)并且当n=l时，%=2 x 1 =2依然成立.所以 册 的通项公式是册=2 n.课堂练习1填空(1)数列 a 中,i =-2 ,an+1=an-5,则 04=_(2)数列 an中，%=1 ,且 an+1=nan,则 g =_ _ _ _(3)数列 an中，an+1-an-n =0 ,则 2021 02020=-通过数列的通项与 前n项和的认识，帮助学生理解数列求和的概念答案：（1）-1 7 （2）2 （3）2 0 2 02 （由递推公式求数列的项）（多选题）已知数列 an 满足%=,an+1=；，则下列各数是 斯 的项的有（）2 3A.-2 B.-C.-D.33 2答案：B D分析：根据递推关系找出规律，可得数列是周期为 3的周期数列，从而得出结论.解：因为数列 an 满足&=1 ，an+l=1,所以=1 _（_,-。
3 =1 _ 的=31 1a4=.1 一-=2o所以，数列 an 是周期为3的数列，且前3项为 一;，|，3故选：B D3如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公 式 为（）遴 县 溟 A.an+1=8an B.an+1=an+8nC.an+1=an+8nt D.0n+】=an 4-8n答案：D解：由图可知：Q i =l ,2 =1 +8 =%+8 ,Q 3 =+82可得 On+1=n+8n故选：D4(由递推公式求通项公式)(1)累加法求通项公式已知数列 时 满足=1，斯+1=an+n(n+i)(n e/V ),求数列的通项公式an.解：an+l 册 一，n(n+l)a2-1-=而1-3=病1a a-l=(n-l)以上各式累加得，1 1 1C LnC L )_ 1 _ _ 1 1 1 z 八1 x 2 2 x 3 (n-l)n=a-/II、1+(4 )1n-1 nJ nC 1n+1=1 n1：=-(n 2)又时，Qi=1,符合上式，1an =n(2)累乘法求通项公式设数列 an 中，at=1,an=(1(n 2),求数列的通项公式an.解：；%=1,a”=(1-an-i(n 2),an 一_ n-1，an-i nan an-l an-2 a3 a2an=-X-X-X X X X%为1-1 Qn-2 册-3 017 1 1 7 1 2 7 1 -3 2=-X-X-X X-n n 1 n 2 31 1X X 1=2n又,=1 时，4 =1,符合上式，_ 1,U nn拓展(1)累加法：当 即=即 _ 1+/(71)时，常用/=(an-n-i)+(an-i-2)+-+(a2-ai)+%,求通项公式.(2)累乘法：当 工=g(n)时，1常 用 an=上 吐!r%求通项公式.an-l an-2 al5已知数列 an 的前n 项 和%=N*),则。
4=?分析：利用 4=54-S3来求解.解：由已知得：a4=S4-S3=1-=-o 5 30故4=.,30课堂小结1 数列的递推公式2 通项公式与递推公式的区别和联系3 数列前n 项和的定义及前n 项和公式4 数列的通项与前n 项和板书1 数列的递推公式2 通项公式与递推公式的区别和联系3 数列前n 项和的定义及前n 项和公式4 数列的通项与前n 项和5 课堂练习教学反思。