个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 1 页，共 21 页 第第四四章章 轴对称轴对称 一、知识体系一、知识体系 1、 轴对称图形， 对称轴：轴对称图形， 对称轴： 如果一个图形沿着一条直线折叠， 直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线就是它的对称轴对称轴 说明：轴对称图形是一个完整图形，它被对称轴分成的两部分完全相同完全相同；轴对称图形的对称轴可以是_ __条，也可以是_ __条，甚至是 条 2、两个图形成轴对称：两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿着某条直线折叠两个图形能够完全重合，那么这两个图形 成轴对称，这条直线就是 ，折叠后_相互重合的点_是对应点，叫做对称点 说明： 成轴对称的前提是__必须有两个图形 两个图形成轴对称， 则 对应线段 相等， 对应角 相等 3、轴对称的性质：轴对称的性质： 性质 1：成轴对称的两个图形全等（对应线段、对应角相等） 性质 2：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 4、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 5、线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 6、作轴对称变换作轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
作轴对称图形，关键是作出对称点 7、对称与坐标的关系：对称与坐标的关系：关于 x 轴对称的点： 坐标不变， 坐标互为相反数；关于y 轴对称的点：_____坐标不变，______坐标互为相反数 8、等腰三角形等腰三角形 知识点 关键 构造全等三角形的方法 等腰三角形的定义： 有两条边相等的 三角形是等腰三角形 顶角与底角关系 边的多解分析 构造等腰三角形的方法 ①平行线构造 ②三线合一的构造 ③截长补短法 等腰三角形的性质： ⑴等边对等角；⑵“三线合一” 底边上中线、高、 顶角平分线是常 用辅助线 等腰三角形的判定： ⑴证明两边相等；⑵等角对等边 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 2 页，共 21 页 等边三角形的性质 ⑴三边相等；⑵三个角都相等； ⑶每一个角都等于 60° 由 60 ° 角 猜 想 30°角的直角三 角形与等边三角 形的关系 构造等边三角形的方法 ①60°角构造 ②120°角构造 等边三角形的判定： ⑴定义；⑵三个角都相等的三角形； ⑶有一个角是 60°的等腰三角形 9、含含 30°角的直角三角形的重要结论°角的直角三角形的重要结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、解题方法二、解题方法 1、、对称的应用对称的应用 当已知条件中出现了等腰三角形﹑角平分线﹑高（或垂线） ，或求几条折线段的最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件. 2、、等腰三角形的判定等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法: ⑴从定义入手,证明一个三角形有两条边相等; ⑵从角入手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理;等角对等边. 3、、构造等腰三角形的常用方法构造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分线+平行线 = 等腰三角形 ⑵角平分线+垂线(或高 ) = 等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 三、例题分析三、例题分析 【例 1】如图,将一个直角三角形纸片 ABC(∠ACB=90°),沿线段 CD 折叠,使点 B 落在 B1处,若∠ACB1=70°,则∠ACD=( ) A.30° B.20° C.15° D.10° 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 3 页，共 21 页 【例 2】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,EF 是 AD 的垂直平分线,E 为垂足,EF 交 BC 的延长线于点 F,求证: ∠B=∠CAF. 【变式题组】【变式题组】 1. 如图,点 D 在△ABC 的 BC 边上,且 BC=BD+AD,则点 D 在______的垂直平分线上. 2. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC 于 E,且 AE=EC,若 AB=3cm,则DC=_______cm。
3. 如图,在△ABC 中, ∠BAC=126°,DE,FG 分别为 AB,AC 的垂直平分线,则∠EAG=________. 4. △ABC 中,AB=AC,AB 边的垂直平分线交 AC 于 F,若 AB=12cm, △BCF 的周长为 20cm,则△ABC 的周长是_________cm. 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 【例 3】如图，在△ABC 中，AB=AC，D 在 BC 的上，且 AD=BD，AC=CD，求∠B 的度数 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 4 页，共 21 页 【变式题组】 1、如图所示，△ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 AC、AB 上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A 的度数 2、如图,在△ABC 中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A 的度数. 3、如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=BD=ED=EA.求∠A 的大小. 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 5 页，共 21 页 【例 5】如图，△ABD 为等边三角形，∠BCA=60°，求证：AC=BC+CD 【例 6】如图，已知△ABC 中，∠A=90°，CA=AB，CE⊥EB 于 E，BE 平分∠CBA 交 EB 于 D.求证：BD=2CE。
【例 7】已知坐标原点 O 在点 A(2,-2),B 是坐标轴上的一点.若△AOB 是等腰三角形,则这样的点 B 一共有( )个 A、4 B、5 C、6 D、8 【变式题组】【变式题组】 1.在平面直角坐标系 xOy 内,已知 A(3,-3),点 P 是 y 轴上一点,则使△AOP 为等腰三角形的点 P 共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2.如图,已知长方形纸片ABCD,点 E是AB的中点,点G是 BC 上的一点, ∠BEG＞60°,现沿直线EG 将纸片折叠,使点 B 落在纸片中的点 H 处,连接 AH,则与∠BEG 相等的角的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 A E D C B 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 6 页，共 21 页 3.如图所示，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=43，点 E 是折线段 A－D－C 上的一个动点（点 E与点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点，在点 E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（ ） A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【例 8】 在两个全等的含 30°﹑60°角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置， E﹑A﹑C三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME﹑MC.试判断△EMC 的形状，并说明理由. 【变式题组】 2.如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ACB=90°,D 为 BC 的中点，DE⊥AB 垂足为 E，过点 B 作BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF 交 AD 于 C ⑴求证:AD⊥CF; ⑵连接 AF,试判断△ACF 的形状,并说明理由. 个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 7 页，共 21 页 【【基础演练基础演练】】 一、一、选择题选择题 1．下列图案是轴对称图形的有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2．将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（ ） A、 B、 C、 D、 3．下列英文字母属于轴对称图形的是（ ） （A） N （B） S （C） H （D） F 4．下列图形中对称轴最多的是（ ） （A）圆 （B）正方形 （C）等腰三角形 （D）线段 5．下列说法正确的是（ ） A、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B、顶角相等的两个等腰三角形全等 C、等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D、等腰三角形的两个底角相等 6． 如图， DE是△ABC中AC边的垂直平分线， 若BC=8cm， AB=10cm， 则△EBC的周长为 （ ）A、16cm B、28cm C、26cm D、18cm 7．等腰三角形的一个角是 80° ，则它的底角是（ ） A、50° 或 80° B、80°C、50° D、20° 或 80° 8.束光线从点 A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（1，0）则光线从 A 点到 B点经过的路线长是（ ） A、4 B、5 C、6 D、7 9．等腰三角形的一个角是 40°，则它的顶角是（ ） （A）40° （B） 100°（C） 40°或 100° （D） 70°或 50° 10．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A、75° 或 15° B、75° C、15° D、75° 和 30° 11、下列命题中真命题的个数是（ ） 。
①如果等腰三角形内一点到底边两端距离相等，那么过这个点与顶点的直线必垂直于底边； ②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段， 那么延长线段的两个端点与顶点的距离相等； ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等； ④等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等 EDABC 第 6 题 B个性化精准体系——初二数学上册同步强化教程 第 8 页，共 21 页 第 2 题 AEBCDA、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 12、在平面直角坐标系 xoy 中，已知（2，-2） ，在 y 轴确定点 P，使△AOP 为等腰三角形，则符合重要条件的点有（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 13、已知 A（2，3） ，其关于 x 轴的对称点是 B，B 关于 y 轴对称点是 C，那么相当于将 A 经过（ ）的平移到了 C A、向左平移 4 个单位，再向上平移 6 个单位 B、向左平移 4 个单位，再向下平移 6 个单位 C、向右平移 4 个单位，再向上平移 6 个单位 D、向下平移 6 个单位，再向右平移 4 个单位。
14、已知 P（x，y）的坐标满足等式（x-2）2+|y-1|=0,且点P与P′（x′,y′）关于 y 轴对称，则 x′，y′的对应值为（ ） A、-2，1 B、2，-1 C、2，1 D、-2，-1 15、桌面上有 A、B 两球，若要将 B 球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中 A 。