渗碳过程碳浓度分布数值模拟摘要：本文在气体渗碳与离子渗碳方面对渗碳过程碳浓度分布做了主要研究基 于菲克第一定律与菲克第二定律建立数学模型，分析了碳浓度分布与时间 温度及距表面距离之间的关系关键词：气体渗碳 离子渗碳 渗层碳浓度分布 数值分析一、 问题的提出1、 对于渗碳过程碳浓度的分布，首先有如下假设(1) 20 号钢制成半无限大的平表面；(2) 零件内部温度均匀一致，且不随时间变化；(3) 碳的扩散系数不随浓度变化；(4) 环境中碳势不随时间变化；2、基于以上假设，我们分别对气体渗碳与离子渗碳研究以下几个方面：(1)气体渗碳a 相同温度下，不同时间，碳浓度分布随距表面距离的变化；b 相同温度下，距表面距离不同，碳浓度分布随时间的变化；c 相同时间，不同温度下，碳浓度分布随距表面距离的变化；d 相同温度，相同时间，不同传递系数，碳浓度分布随距表面距离的变化；(2)离子渗碳a 相同温度下，不同时间，碳浓度分布随距表面距离的变化；b 相同温度下，距表面距离不同，碳浓度分布随时间的变化；c 相同时间，不同温度下，碳浓度分布随距表面距离的变化；二、 建立数学模型碳原子在 20 号钢中扩散遵循菲克第二定律，即碳浓度分布满足方程：dc d dc=(D )欣 dx dxD 与 C 无关，方程变为：d 2 cdx 21)气体渗碳时：初始条件：c(x,0)二 c0边界条件：=0 (c - c)p方程的解析解：£ ( x 卩 x+卩2Terfc 気)一 exp(^^)efc 匕Dc（X,T ） = C + （c 一 c ）0 p 0式中：C（X, T ）—碳浓度的质量分数（％）; 卩一碳原子的界面传递系数（mm/h）； D一碳的扩散系数（mm2 • h-i）； T—渗碳时间（h）;x一据表面的距离（mm）；c0—工件原始碳浓度（％）； 2）离子渗碳时：即：初始条件：c（x,0）二 c0边界条件：c - c（0,t ）二 csp方程的解析解：xc（X，T） - c + （c - c ）erfc （ ）0 p 0 24DT式中：C（x,T ）碳浓度的质量分数（ %）；D一碳的扩散系数（mm2 • h-1）； T—渗碳时间（h）;x一据表面的距离（mm）； c0——工件原始碳浓度（％）； cs——工件表面碳浓度（％）；三、基于所提出的问题，编程生成图像，对图像进行分析简化模型’假设Cp与T呈线性关系’图形如下所示:程序如下：L1 = '0.77*a + b = 727';L2 = '2.11*a + b = 1148';g = solve(L1, L2);x = 0:0.01:5;y = g.a*x + g.b;plot(x, y);axis([0.77, 2.11, 727, 1148]);xlabel('w(C)%');ylabel('温度/°C');grid on拟合方程为：T = 314.1791 *C + 485.0820p1、气体渗碳a相同温度下，不同时间，碳浓度分布随距表面距离的变化：对于材料20号钢，其渗碳过程温度为950C, C=0.20%, C=1.30%； 碳的扩散系数 D二D°exp(—Q/RT),其中 D =0.162cm2/s,Q=137800J/mol,则 D=6.3*10-8；碳的传递系数 B=3.969exp(—120830/RT)cm/s，则 B=9.5*10-6 cm/s。
其中气体常数R=8.314J/(mol ・K)味浓度分布瞪距表面距強变优曲线「汽体洼耀？ cl潘碳时间Q.£h衆涯碳时间仆: 礦时间2h 關渎碳时间』h即表頂距珂x/mnO2O程序如下：D = 0.162*exp(T37800/8.314/(950+273))*100;B = 3.969*exp(T20830/8.314/(950+273))*10;c0=0.2;cp=1.3;tl=0.5*3600;t2=1*3600;t3=2*3600;t4=4*3600;x=0:0.001:3;cl=cO+(cp-cO).*(erfc(x./(2*sqrt(D.*tl)))-exp((B.*x+B"2.*tl)./D).*erfc(x./(2*sqrt(D.*tl))+B.*sqrt(tl./D)));c2=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*x+B"2.*t2)./D).*erfc(x./(2*sqrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));c3=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D.*t3)))-exp((B.*x+B"2.*t3)./D).*erfc(x./(2*sqrt(D.*t3))+B.*sqrt(t3./D)));c4=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D.*t4)))-exp((B.*x+B"2.*t4)./D).*erfc(x./(2*sqrt(D.*t4))+B.*sqrt(t4./D)));plot(x,c1,'r',x,c2,'g',x,c3,'k',x,c4,'b');title('碳浓度分布随距表面距离变化曲线(气体渗碳)’)；xlabel('距表面距离x/mm');ylabel('碳浓度 c/%');legend('cl渗碳时间0.5h','c2渗碳时间lh','c3渗碳时间2h','c4渗碳时间4h');grid on结论：随着时间的增加，材料表面碳浓度逐步增加，且距表面距离相同的 位置碳浓度增加。
碳原子逐步向材料深层扩散相同时间，碳浓度随着距 表面距离的增加而减少b相同温度下，距表面距离不同，碳浓度分布随时间的变化:碳浊度井布随潘離叶间变化曲线:气悽屢诜卜c1-距表面匪乌■Imim Q臣表直矍W2mm cl-距表面距禽4mrei £4距表囲Et駁Gmm c弓-距叢百匪禺8mtn灌除匸间止程序如下：D = 0.162*exp(T37800/8.314/(950+273))*100;B = 3.969*exp(T20830/8.314/(950+273))*10;c0=0.2;cp2=1.3;t=0:0.2:50;t2=t*3600;x1=1;x2=2;x3=4;x4=6;x5=8;cl=c0+(cp2-c0).*(erfc(xl./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*xl+B"2.*t2)./D).*erfc(xl./(2*s qrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));c2=c0+(cp2-c0).*(erfc(x2./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*x2+B"2.*t2)./D).*erfc(x2./(2*s qrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));c3=c0+(cp2-c0).*(erfc(x3./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*x3+B"2.*t2)./D).*erfc(x3./(2*s qrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));c4=c0+(cp2-c0).*(erfc(x4./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*x4+B"2.*t2)./D).*erfc(x4./(2*s qrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));c5=c0+(cp2-c0).*(erfc(x5./(2*sqrt(D.*t2)))-exp((B.*x5+B"2.*t2)./D).*erfc(x5./(2*s qrt(D.*t2))+B.*sqrt(t2./D)));plot(t,c1,'r',t,c2,'g',t,c3,'b',t,c4,'y',t,c5,'k');title('碳浓度分布随渗碳时间变化曲线(气体渗碳)’)；xlabel('渗碳时间/h');ylabel('碳浓度 c/%');legend('cl-距表面距离lmm','c2-距表面距离2mm','c3-距表面距离4mm','c4-距表面距离6mm','c5-距表面距离8mm');grid on结论：相同渗碳时间，距表面距离越近，碳浓度越高。
碳浓度增长速率先 大后小，最终碳浓度趋于一个定值C相同时间，不同温度下，碳浓度分布随距表面距离的变化；.2o不同淒谨温度下的厳浓度分布撲拟体洼碳〉0.5 1 1.5 2 2.5 3 15 4 4-.S乔志血严离x/mm9 Bo.o程序如下：c0=0.2;cp=1.0;T1 = 860+273;T2 = 900+273;T3 = 950+273;T4 = 1000+273;DI = 0.162*exp(-137800/8.314/Tl)*100;D2 = 0.162*exp(-137800/8.314/T2)*100;D3 = 0.162*exp(-137800/8.314/T3)*100;D4 = 0.162*exp(-137800/8.314/T4)*100;Bl = 3.969*exp(-120830/8.314/Tl)*10;B2 = 3.969*exp(-120830/8.314/T2)*10;B3 = 3.969*exp(-120830/8.314/T3)*10;B4 = 3.969*exp(-120830/8.314/T4)*10;x=0:0.001:5;t = 10*3600; c1=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D1.*t)))-exp((B1.*x+B「2.*t)./D1).*erfc(x./(2*sqr t(D1.*t))+B1.*sqrt(t./D1)));c2=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D2.*t)))-exp((B2.*x+B2"2.*t)./D2).*erfc(x./(2*sqr t(D2.*t))+B2.*sqrt(t./D2)));c3=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D3.*t)))-exp((B3.*x+B3"2.*t)./D3).*erfc(x./(2*sqr t(D3.*t))+B3.*sqrt(t./D3)));c4=c0+(cp-c0).*(erfc(x./(2*sqrt(D4.*t)))-exp((B4.*x+B4"2.*t)./D4).*erfc(x./(2*sqrt(D4.*t))+B4.*sqrt(t./D4)));plot(x,c1,'r',x,c2,'g',x,c3,'k',x,c4,'b');title('不同渗碳温度下的碳浓度分布模拟(气体渗碳)’)；xlabel('距表面距离x/mm');ylabel('碳浓度 c/%');legend('cl渗碳温度860° C','c2渗碳温度900° C','c3渗碳温度950° C','c4渗碳温度 1000° C');grid on结论：相同渗碳时间，随着渗碳温度的提高，距表面距离相等的位置碳浓 度提高。
原因是，温度越高，碳的扩散系数越大同一温度，碳浓度随距 表面距离增大而减小，且变化越来越平缓d相同温度，相同时间，不同传递系数，碳浓度分布随距表面距离的变化:。