2016北京一模二模导数大题 ．（2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数.(Ⅰ)若曲线在点处的切线经过点(0,1),求实数的值;(Ⅱ)求证:当时,函数至多有一个极值点;(Ⅲ)是否存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. ．（2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数.(Ⅰ)当时,求证:函数的图像关于点对称;(Ⅱ)当时,求的单调区间. ．（2016年北京高考（理））设函数,曲线在点处的切线方程为,(1)求,的值;(2)求的单调区间. ．（2016年北京市海淀区高三二模理）已知函数. (Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;(Ⅲ)若曲线存在两条互相垂直的切线,求实数的取值范围.(只需直接写出结果) ．（2016年北京市西城区高三二模理）设,函数.(Ⅰ)若函数在处的切线及直线平行,求a的值;(Ⅱ)若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围. ．（2016年北京市东城区高三二模理）已知,.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)当时,求证:对于,恒成立;(Ⅲ)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围. ．（2016年北京市朝阳区高三二模理）已知函数,.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,试求的取值范围. ．（2016年北京市丰台区高三二模理）设函数.(Ⅰ)当时,求函数在区间内的最大值;(Ⅱ)若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围. ．（2016年北京市房山区高三二模理）已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.．（2016年北京市昌平区高三二模理）已知函数,,且曲线及曲线在它们的交点处具有公共切线. 设.(I)求的值,及的关系式;(II)求函数的单调区间;(III)设,若对于任意,都有,求的取值范围.．（2016年北京市顺义区高三一模理）已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)设,若函数在上(这里)恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.．（2016年北京市石景山区高三一模理）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:当时,;(Ⅲ)若对恒成立,求实数的最大值.．（2016年北京市丰台区高三一模理）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)若在区间上恒成立,求的最小值.．（2016年北京市朝阳区高三一模理）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,都有成立,求的取值范围;(Ⅲ)试问过点可作多少条直线及曲线相切?并说明理由.．（2016年北京市海淀区高三一模理）已知函数,(Ⅰ)求函数的最小值;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)求证:直线不是曲线的切线.．（2016年北京市西城区高三一模理）已知函数,且.(Ⅰ)求的值及的单调区间;(Ⅱ)若关于x的方程存在两不相等个正实数根,证明:.．（2016年北京市东城区高三一模理）设函数,.(Ⅰ)当时,求的单调区间;(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围;(Ⅲ)求证:当时,.单元检测卷设置参考答案 (Ⅰ)解: (Ⅱ)证明:当时, 当时,,函数在上单调递增,无极值; 当时,令,则. 由得,则 ①当,即时,,在上单调递减, 所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点. 所以函数在上至多有一个极值点. ②当,即时,及随的变化情况如下表: 因为, 所以在上至多有一个零点,即在上至多有一个零点. 所以函数在上至多有一个极值点. 综上,当时,函数在定义域上至多有一个极值点 (Ⅲ)存在实数,使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是. 由(Ⅱ)可知当时,函数至多有一个极值点,不可能同时存在极大值及极小值. 当时,,无极值; 当时,及随的变化情况如下表: ①下面研究在上的极值情况: 因为,, 所以存在实数,使得, 且时,,即,在上递减; 时,,,在上递增; 所以在上的极小值为,无极大值. ②下面考查在上的极值情况: 当时,; 当时,, 令,则,令, 因为在上递减, 所以,即. 综上,因为, 所以存在实数,, 且时,,即,在上递减; 时,,,在上递增; 所以在上的极大值为,无极小值. 又因为,且, 所以, 所以,当且仅当时,函数在定义域上的极小值大于极大值 (Ⅰ)证明:当时,. 将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像. 因为对任意,,且, 所以函数是奇函数. 所以函数的图像关于原点对称. 所以函数的图像关于点对称 (Ⅱ)解:由,得 ①当时,. 所以的递减区间是. ②当时,及随的变化情况如下表: 所以的单调递增区间是,单调递减区间是,. ③当时,及随的变化情况如下表: 所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是, 解: (Ⅰ)函数的定义域为. 当时, 当变化时,,的变化情况如下表:极大值极小值 函数的单调递增区间为,, 函数的单调递减区间为 (Ⅱ)解:因为在区间上有解, 所以在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得 当时,即时, 因为对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为 所以, 解得,所以此种情形不成立, 当,即时, 若, 则对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为所以, 解得,所以 若, 若,则对成立,对成立. 则在上单调递减,在上单调递增, 此时在上的最小值为 所以有,解得, 当时,注意到,而, 此时结论成立 综上,的取值范围是 法二:因为在区间上有解, 所以在区间上的最小值小于等于, 当时,显然,而成立, 当时,对成立,所以在上单调递增, 此时在上的最小值为, 所以有, 解得,所以 综上, (Ⅲ)的取值范围是 (Ⅰ)证明:函数的定义域, 由题意,有意义,所以. 求导,得 由题意,得,解得. 验证知符合题意 (Ⅱ)“对于定义域内的任意,总存在使得”等价于“不存在最小值” ① 当时, 由,得无最小值,符合题意 ② 当时, 令,得 或 随着x的变化时,及的变化情况如下: 不存在0↘不存在↗极大↘ 所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为. 因为当时,,当时,, 所以只要考虑,且即可. 当时, 由在上单调递减,且, 得, 所以存在,使得,符合题意; 同理,当时,令, 得,也符合题意; 故当时,对于定义域内的任意,总存在使得成立 ③ 当时, 随着x的变化时,及的变化情况如下表:0不存在↘极小↗ 不存在↘ 所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为. 因为当时,,当时,, 所以. 所以当时,不存在使得. 综上所述,a的取值范围为 解:(Ⅰ)所以 单调增区间为,单调减区间为 (Ⅱ) 设, 当时,由题意,当时,恒成立. , \ 当时,恒成立,单调递减. 又, \ 当时,恒成立,即. \ 对于,恒成立 (Ⅲ) 因为 . 由(II)知,当k = 2时,f (x) < g (x)恒成立, 即对于"x > –1,2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1),不存在满足条件的x0; 当k > 2时,对于"x > –1,x + 1 > 0,此时2 (x + 1) < k (x + 1). \ 2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1),即f (x) < g (x)恒成立, 不存在满足条件的x0; 当k < 2时,令t (x) = –2x2 – (k + 6)x – (2k + 2),可知t (x)及h ¢ (x)符号相同, 当x Î (x0 , +¥)时,t (x) < 0,h ¢ (x) < 0,h (x)单调递减. \ 当x Î (–1 , x0)时,h (x) > h (–1) = 0,即f (x) – g (x) > 0恒成立. 综上,k的取值范围为(–¥ , 2) 解:(Ⅰ) . (Ⅱ)依题意当时,曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,等价于当时,恒成立. 设,. 所以. (1)当,即时,当时,,为单调减函数, 所以. 依题意应有 解得所以. (2)若 ,即时,当,,为单调增函 数, 当,,为单调减函数. 由于,所以不合题意. (3)当,即时,注意到,显然不合题意. 综上所述, 解: (Ⅰ)当时,, 及、之间的关系如下表:1+0-增函数极大值减函数 函数在区间内只有一个极大值点,所以这个极值点也是最大值点, 最大值 (Ⅱ)(1)当时,,显然在区间内没有两个零点,不合题意. (2)当时,, ①当且时,,函数区间上是增函数,所以函 数 区间上不可能有两个零点,所以不合题意; ②当时,在区间上及、之间的关系如下表:+0-增函数极大值减函数 因为,若函数区间上有两个零点, 则,所以,化简 因为, , 所以. 综上所述,当时,函数在区间内有两个零点. 解:(Ⅰ)当时, 令 得 变化情况2+-+增减增所以 函数增区间为,,减区间为 (Ⅱ)方法一: 当时, 若在上有两个极值点,在上至少有两零点, 即方程在上至少有两个不等实根, 即方程在上至少有两个不等实根 设, 解的 在上单增,在上单减 所以 在上的最大值为 又 所以 要使方程有两个不等实根,的取值范围为 设, 解得 当时, 且在单调递减;在单调递增. 设为方程的两个不等实根, 则在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即为的两个极值点 综上所述, 在内存在两个极值点时,的取值范围为. 方法二: (Ⅱ), 因为在上有两个极值点,所以在上至少有两零点, 所以方程,即方程在上至少有两个不等实根, 所以直线及曲线在上有两个不同的交点 因为,所以过点和的直线的斜率 设过点的直线及曲线相切于点 因为,所以直线的斜率 所以直线的方程为 因为直线过点,所以,所以 因为直线及曲线在上有两个不同的交点 所以,即 设为直线及曲线在上两个交点的横坐标,显然在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即为的两个极值点 所以当在内有两个极值点时,的取值范围为. 方法三: 当时,在区间上, 所以 从而在区间上。