曲边梯形的面积

第 1 页 共 5 页曲边梯形的面积教学目标:重点: 掌握曲边梯形的面积的求法，并理解 “以直代曲”的思想难点: 曲边梯形的面积的求法知识点: 求一般曲面梯形面积的方法能力点: 体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想教育点:感受古代数学家的成就 ,增强自豪感教学过程:一、引入新课问题 1：你会求哪些平面图形的面积？下面这些平面图形有什么共同特点？问题 2：下面这两个图形的面积你会求吗？【设计意图】1.引导学生认识到平面图形分为“直边图形”和“曲边图形” 2.将不规则的图形“分割”得到熟悉的图形，从而求出它的面积让学生体会分割转化的思想问题 3：圆的面积是怎样求得的？【设计意图】介绍我国古代数学家刘徽的“割圆术”求圆面积的方法借助多媒体动画演示，让学生直观地看到正多边形逼近圆的过程体会最早的 “以直代曲”，“无限逼近”的思想方法割圆术的动态演示能够激起学生的学习兴趣和求知欲望问题 4：如果你从中受到了启发，那么如何求下图中阴影部分的面积呢？二、探究新知1． 曲边梯形如图，在直角坐标系中，由连续曲线 ，直线 及 轴所围成的图形叫做曲边梯形.yfx,axb2． 求曲边梯形面积近似值方法探究思考：你能给出图中的求曲边梯形面积的近似值的办法吗？第 2 页 共 5 页生：把曲边梯形看作梯形，以梯形的面积作为曲边梯形的近似值.师：梯形的上底下底和高分别是什么？生：上底和下底分别是 ，高为 .,faba师：这种近似方法“差”在哪里？体现了什么思想？生：“差”在了曲边，把曲边近似看作了直线，体现了“以直代曲”的思想.回顾“以直代曲”：我们可以用这条直线来代替点 附近的曲线，也就是说：在点 附近，曲线可以看pp作直线（即在很小范围内以直代曲）.P问：那么我们刚才这样“以直代曲”效果怎样？原因出在哪？显然，近似值误差较大， “以直代曲”主要用在小范围内，大范围上用误差较大.探究：如何能得到更好的近似值呢？例：求由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积 .2yx1,0yS步骤 1、分割将区间 等分成 个小区间 ， ，…， （学生回答） ，0,n,n2,1,in…， ，每个区间的长度为 （学生回答） ，过各个1,ix区间端点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，它们的面积分别记作， .显xn ,,21niSSL然， .（复习 符号的运用）1niiS步骤 2、近似代替如何计算每个曲边梯形的面积呢？用梯形面积作为近似值有什么优缺点？还有其它方案吗？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）P第 3 页 共 5 页方方 方案一 方案二 方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积.方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积.方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积.（缺点计算公式较为复杂）【设计意图】对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边” （即在很小的范围内以直代曲） ，这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会.对区间 上的小曲边梯形，以区间左端点 对应的函数值 为一边的长，以1,in 1in21iifn为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.x即 nixnifSi 1)()1(2步骤 3、求和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 个小矩形面积之和就是所求曲边三角n形面积 的近似值：S= 12nnSLii121ni2230223 31206nL（公式： ）22116nL练习：学生自主完成以区间右端点 对应的函数值为矩形一边的长时面积的近似值i。

（给学生体验近似代替求和计算的机会，并为后续研究作铺垫）312'6nnS第 4 页 共 5 页步骤 4、取极限（1）从图形角度看（2）利用EXCEL 表格计算分别以左右端点为边长面积的近似值区间的等分数 n 左端点为边长面积近似值2 0.1254 0.218758 0.273437516 0.302734375128 0.3294372561024 0.3328452112048 0.333089232131072 0.333329519262144 0.3333314262097152 0.333333095536870912 0.3333333321073741824 0.333333333从表格中可以看出，当 趋向于无穷大，即 趋向于 0 时， 趋向于 ，显然面积 .nxnsS13（3）极限计算 31211limlilim6323n nS3li'lilin nn三 理解新知：在“近似代替”中，如果我们取右端点处的函数值作为 在区间 上的近2fx1,,2iinnL似值，情况会怎样？生： 31211lim'lilim6323n nS n如果我们不取左，右端点处的函数值作为 在区间 上的近似值，而是取2fx,,2iinL第 5 页 共 5 页任意 处的函数值 作为近似值，情况又怎样？1,iinif可以证明，取任意 处的函数值 作为近似值，都有,iinif011limli3ni ixnSfxf【设计意图】分别从图形、数值、式子三个角度去理解曲边梯形的面积值，展示“逼近”过程，让学生体会极限思想，增强学生的直观感知，真切地感受曲边面积值的得来。

另外还可以借助几何画板展示“以直代曲” “逼近”的过程，四、运用新知1．请你根据对上述讨论的理解，叙述下图阴影部分的面积的求法设计意图】在学生叙述的基础上明确：“分割，近似代替，求和，取极限”的思想方法五、课堂小结1．求曲边梯形的面积的方法和一般步骤；2．求任意形状曲线所围成的平面图形的面积的方法；3．本课所涉及到的思想：“以直代曲” “逼近” “极限”.六、布置作业求由 和 , , 轴围成的曲边梯形面积.21yx03x七、教后反思本课关键有二：1 通过对割圆术求圆的面积的感悟，体会“以直代曲” “逼近”的思想方法从而寻找到求曲边梯形面积的方法 2 因为本课的教学是为后面定积分的学习建立实际背景基础的，因此要让学生明确求曲边梯形面积的四部曲：“分割，近似代替，求和，取极限” 八、板书设计曲边梯形的面积一. 曲边梯形的概念 三.例题二. 求曲边梯形的面积1. 分割2. 近似代替3. 求和4. 取极限。