30.4 30.4 二次函数的应用二次函数的应用 30.4.130.4.1 抛物线形问题抛物线形问题 学习目标 1掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题 2利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题 3能运用二次函数的图象与性质进行决策 教学过程 一、情境导入 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)， 大门的宽度为 8 米， 两侧距地面4 米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，请你确定校门的高度是多少？ 二、合作探究 探究点：拱桥、涵洞问题 例 1 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥， 当水面宽 4 米时， 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米水面下降 1 米时，水面的宽度为_米 解析： 如图， 建立直角坐标系， 设这条抛物线为yax2， 把点(2， 2)代入， 得2a22，a12，y12x2，当y3 时，12x23，x 6.故答案为 2 6. 方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题 例 2 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为 6 米，底部宽度为 12 米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 分析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为ya(x6)26，可利用待定系数法求出二次函数关系式； 再利用二次函数上某些点的坐标特征， 求出有关 “支撑架”总长ADDCCB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题 解：(1)根据题意，分别求出M(12， 0)，最大高度为 6 米，点P的纵坐标为 6，底部宽度为 12 米，所以点P的横坐标为 6，即P(6，6) (2)设此函数关系式为ya(x6)26.因为函数ya(x6)26 经过点(0， 3)， 所以 3a(06)26，即a112.所以此函数关系式为y112(x6)26112x2x3. (3)设A(m，0)，则B(12m，0)，C(12m，112m2m3)，D(m，112m2m3)即“支撑架”总长ADDCCB(112m2m3)(122m)(112m2m3)16m218.因为此二次函数的图象开口向下所以当m0 时，ADDCCB有最大值为 18. 三、板书设计 建立二次函数模型： （1）拱桥问题； （2）涵洞问题. 教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题. 30.4.2 30.4.2 实际问题中二次函数的最值问题实际问题中二次函数的最值问题 学习目标 1经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系 2会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 3能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题 教学过程 一、情境导入 孙大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米当x为何值时，S有最大值？并求出最大值 二、合作探究 探究点一：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积 例 1 小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 分析： 利用矩形面积公式就可确定二次函数 (1)矩形一边长为x， 则另一边长为602x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标 解：(1)根据题意，得S602x2xx230 x.自变量x的取值范围是 0 x30. (2)Sx230 x(x15)2225，a10，S有最大值，即当x15(米)时，S最大值225 平方米 方法总结： 二次函数与日常生活的例子还有很多， 体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性 解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息， 建立实际问题中变量间的二次函数关系 【类型二】最大面积方案设计 例 2 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道， 其高度为 6 米， 宽度OM为 12 米 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示) (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下 解：(1)M(12，0)，P(6，6) (2)设这条抛物线的函数关系式为ya(x6)26，因为抛物线过O(0，0)，所以a(06)260，解得，a16，所以这条抛物线的函数关系式为：y16(x6)26，即y16x22x. (3)设OBm米，则点A的坐标为(m，16m22m)，所以ABDC16m22m.根据抛物线的轴对称，可得OBCMm，所以BC122m，即AD122m，所以lABADDC16m22m122m16m22m13m22m1213(m3)215.所以当m3， 即OB3 米时，三根木杆长度之和l的最大值为 15 米 探究点二：最大利润问题 【类型一】利用解析式确定获利最大的条件 例 3 为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为 10 个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗 2 元，但一天产量减少 4 件生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议 分析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润一天生产的产品件数每件产品的利润；其中， “每件可节约能源消耗 2 元”的意思是利润增加 2 元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议 解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y102(x1)764(x1)8x2128x6408(x8)21152.当x8 时，y最大值1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大建议：若想获得最大利润，应生产第 8 档次的产品(其他建议，只要合理即可) 【类型二】利用图象解析式确定最大利润 例 4 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 月至第 12 月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图所示(一条线段)的变化趋势， 每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2mx28mxn，其变化趋势如图所示 (1)求y2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，9m24mn6，49m56mn7，解得m18，n638.y2的解析式为y218x2x638(1x12) (2)设y1kxb，函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)，4kb11，8kb10，解得k14，b12.y1的解析式为y114x12(1x12)设这种水果每千克所获得的利润为w元则wy1y2(14x12)(18x2x638)18x234x338，w18(x3)2214(1x12)，当x3 时，w取最大值214，第 3 月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克 三、板书设计 实际问题中二次函数的最值问题： （1） 几何图形最大面积问题； （2） 商品利润最大问题. 教学反思 教学过程中， 强调学生自主探索和合作交流， 引导学生设计有助于学生设计表格， 经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况，培养学生将实际问题转化为函数问题并利用函数的性质进行决策的能力. 30.4.3 30.4.3 将二次函数问题转化为一元二次方程问题将二次函数问题转化为一元二次方程问题 学习目标 1经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系 2能将二次函数问题转化为一元二次方程问题解决运动轨迹及落点问题. 教学过程 一、情境导入 跳绳是同学们非常喜欢的一种体育活动， 在跳绳时， 绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，设拿绳的手此时距地面均为 1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米和 2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.5 米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？ 要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？ 二、合作探究 探究点：二次函数在体育活动中的应用 【类型一】 运动轨迹问题 例 1 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？ 分析： 这是一个有趣的、 贴近学生日常生活的应用题， 由条件可得到出手点、 最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x1 时函数y的值与最大摸高 3.1 米的大小 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点设二次函数关系式为ya(xh)2k，将点A、B的坐标代入，可得y19(x4)24.将点C的坐标代入解析式，得左边右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中 (2)将x1 代入解析式，得y3.因为 3.13，所以盖帽能获得成功 【类型二】 落点问题 例 2 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面 1 米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点 6 米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高， 球落地后又一次弹起 据实验， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半 (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取 4 37)? (3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取 2 65)? 分析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA1，OB6，BM4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)根据顶点式可求得抛物线关系式因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y0 代入函数关系式， 通过解方程求得OC的长 要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长求解的方法有多种 解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6)24，由已知：当x0 时，y1，即 136a4，所以a112.所以函数表达式为y112(x6)24 或y112x2x1； (2)令y0，则112(x6)240，所。
