伴随矩阵的性质及证明(图文)论文导读：回顾了方阵的伴随矩阵概念，讨论了方阵的伴随矩阵的秩、可逆性、行列式、特征值、特征向量、对称性、正交性、正定性；并对每个性质给出了证明．关键词：方阵，伴随矩阵，性质 设A是n阶方阵，A的伴随阵定义为其中是中（i，j）元的代数余子式性质1证明：设，记则其中 ，故，类似有性质2 若则证明：由性质1可知，当时性质3证明：情形1：（性质9）；情形2：性质4证明:由可知 性质5证明：性质6证明：论文参考网性质7 证明：性质8证明：（1）当时，事实上由性质9可知A可逆；（2）当，由矩阵秩的定义知，此时A的所有n-1阶子式即中任一元素均为零，于是=0从而；（3）当由矩阵秩的定义可知A中至少有一个n-1阶子式不为零，也即是中至少有一个元素不为零，故，又由于，A为降秩矩阵，于是，由，把代入；综上可知：论文参考网性质9 A可逆可逆证明：（1）若A可逆则也可逆论文参考网由性质可知：A可逆则，由可逆矩阵的定义可知可逆2）若A不可逆则也不可逆即则假设可逆，由定义可知=0与矛盾，故假设不成立，原命题成立性质10 A为对称阵则也为对称阵证明：A为对称阵是对称阵性质11 A为正交阵则是正交阵证明：A是正交阵， 是正交阵。
性质12 A为正定矩阵则亦是正定矩阵证明：因为A是正定的，|A|> 0，并且也是正定的，=| A| A−1，所以也是正定矩阵．性质（9~12）说明A的伴随阵继承了A的许多性质，这里所谓的继承是指若A具有某性质p，则也具有性质p，这些性质包括矩阵的对称性、可塑性、正定性、正交性等重要性质，对于这些性质，A与同时具有或同时不具有，也即A具有这些性质的充要条件是也具有这些性质参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1988：176．[2] 同济大学数学教研室．线性代数[M]．3 版．北京：高等教育出版社，1999：52-53．[3] 钱吉林．高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002：124． 。