平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3. 由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a, b）.要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，（a, b）与（b, a）顺序不同，含义就不同，如电影 院的座位是6排7号，可以写成（6，7）的形式，而（7，6）则表示7排6号.要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系 .水平的数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a, b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P（a,b）,如图 2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开(2) 点P(a, b)中，|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x, y)和它对应，反过来对于任意一 对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数 对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的l、ll、lll、IV 四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下图．n 3 - I 第—.象曜2 -第一象隔 1 -T -2HI第三象甩■2-JIV第四象限要点诠释：(1 )坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.(2)按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方， 第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第 四象限.这六个区域中，除了 x轴与y轴有一个公共点(原点)夕卜，其他区域之间均没有公 共点.要点四、点坐标的特征1. 各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律点的位畫第-象限餡二象限第三象醍第四象眼丁轴原点懂坐毓符号+枉意数工00纵坐标符号■+十0任意数y0点的坐标符曾(一・+)( + ,->Cz』)C0ty)(0t0)要点诠释：(1) 对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.(2) 坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0； y轴上的点的横坐标为0.(3) 根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标 平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.2. 象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a, a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a, -a).3. 关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).4. 平行于坐标轴的直线上的点平行于X轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对” 1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为(13,10),那么(10,13)表示的电影 票是—排—号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点 的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意 交换，(a, b)与(b, a)顺序不同，含义就不同.举一反三：【变式】某地10:00时气温是6°C,表示为(10, 6),那么(3, -7)表示 .【答案】3:00时该地气温是零下7°C.类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2•如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.4 » V 1 41111十W十$ a a | | J0 1 -4— 4* || 1 j b f 2— m saigas mil— |l^ —I! I! ■ r» a ■ i丄辺丄”1 1 1 41 1— —— 4- -s-—-' 岀'» 4 P 1I ii h ii L二牡3：舍1&上忆p抖*fl Ji i 1—| 亠 J.亠-I1 V 1 I_ _ L::用Illi■ ■b - L . L . L .i i 14 ■ | W 」E J 1 1Illi4』【思路点拨】要确定点的坐标,要先确定点所在的象限,再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐 标是3,则点A的坐标是(2, 3),同理可得点B、C、D的坐标. 所以，各点的坐标：A(2, 3), B(3, 2), C(-2, 1), D(-1, -2).【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距 离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴， y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为()•A. (5, -4) B. (4, -5) C. (-5, 4) D. (-4, 5)【答案】D.3•在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4, 3), B(-2, 3), C(-4, 1), D(2, -2).【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4, 3),所以先在x轴上找到坐标是4的点M,再在y轴上找到坐 标是3的点N.然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点 A,同理可描出点B、C、D.【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对 有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数 对是一一对应的．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知：A (3, 2), B (5,0),则厶AOB的面 积为【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4. (2014春?夏津县校级期中)根据要求解答下列问题：设M (a, b)为平面直角坐标系中的点.(1) 当a>0, bV0时，点M位于第几象限(2) 当ab>0时，点M位于第几象限(3) 当a为任意实数，且bV0时，点M位于何处【思路点拨(1)利用第四象限点的坐标性质得出答案；(2) 利用第二、四象限点的坐标性质得出答案；(3) 利用第三、四象限和纵轴点的坐标性质得出答案．【答案与解析】解：TM (a, b)为平面直角坐标系中的点.⑴当a>0, bV0时，点M位于第四象限；(2) 当ab>0时，即a, b同号，故点M位于第一、三象限；(3) 当a为任意实数，且bV0时，点M位于第三、四象限和纵轴的负半轴. 【总结升华】本题考查点的坐标的确定,正确掌握各象限对应坐标的符号是解题关键．举一反三：【变式1】(2015 ?威海)若点A (a+1, b-2)在第二象限，则点B (-a, b+1 )在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】解：由A (a+1, b-2)在第二象限，得a+1V0, b-2>0.解得 aV-1, b>2.由不等式的性质,得-a>1, b+1>3,点B (-a, b+1)在第一象限, 故选：A.高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934 练习3 】【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：(1) 点卩［(a，-b)在第 象限；(2) 点P2(-a ,b)在第 象限；(3) 点P3(-a，-b)在第 象限；(4) 点P4( b ,a )在第 象限.【答案】(1)三；(2)一；(3)四；(4)四.5•已知点A(-3, 2)与点B(x, y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离 等于3，求点B的坐标.yA ■» 2■…3-2-10【思路点拨】由“点A(-3, 2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐 标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或-3,即可确定B的坐标.【答案与解析】解：如图,d$B> 3A, 21i II 1 -h.3-2-10i ■-i-2、W -3•••点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，二点B与点A的横坐标相同，x=-3.T点B到x轴的距离为3,二 y=3 或『=_3.二 点 B 的坐标是(_3, 3) 或 (_3, _3).【总结升华】在点B的横坐标为_3的条件下，点B到x轴的距离等于3,则点B可能在第二 象限,也可能在第三象限,所以要分类讨论,防止漏解.举一反三：【变式1】若X轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为( )•A.(3，0) B. (3, 0)或(-3, 0)C. (0, 3) D. (0, 3)或(0,-3)【答案】B.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934 练习4(5)】【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2, 5,则 P的坐标是 ;若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是 .【答案(-5,2)；(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).。