竖直平面内的圆周运动学校学案竖直平面内的圆周运动 学习目标： 1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源 2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件 注意知识点： 1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是： “绳”不能提供支撑力，只能提供拉力 “杆”既能承受压力，又能提供支撑力 一、绳模型： 如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R， 1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供： v2v2F-mg =m 得：F =mg+m RR在最低点拉力大于重力 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供： v2F+mg =m R在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。
如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg，这时只有重力提供向心力故： 小球能过最高点的临界条件：绳子对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点 v2mg =m Þ v临界=RRg Rg 小球能过最高点条件：v ≥不能过最高点条件：v
注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同 故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为： 小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg 当0< v F > 0 当v =Rg时，F=0 当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0 例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg 2C．开始运动时，绳的拉力为mv D．球过最高点时，速度大小为Lg Lv02解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F-mg=m，Lv2v02F=m+mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg=m，v=Lg，所以，LLA、B、C均不正确故选：D 例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端 O O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是 A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为Rg 图6-11-3 C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，v临=0，故B不正确；当v=当0< v
Rg时，mg > F > 0，F为支持力故D正确当v >Rg时，F >0，F为拉力，故C不正确故选：A、D 例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，求： 为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？ 桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？ 2 v02解析：在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力即：mg£m，R则最小速率v0=Rg=0.4´10m/s = 2m/s 水在最高点速率大于v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，v2v2设为F，由牛顿第二定律有F + mg =m， F = m-mg = 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底RR的作用力F/ ＝F = 6.25N，方向竖直向上 巩固练习 1．汽车以—定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是 ( ) A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力 C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力 D．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零 2．乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是 A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小于mg C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 3．把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从水桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( ) A.2gL B.gL/2 C.gL D.2gL4．如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( ) A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 5．一轻杆一端固定一质量为M的小球，以另—端为轴在竖直面内做圆周运动。
小球运动到最高点时，关于小球受力，下列说法中正确的是 ( ) A．轻杆对小球的作用力不可能向下 B．轻杆对小球的作用力不可能为零 C．轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力 D．小球所受的向心力不可能为零 6．如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转，使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为v，则 ( ) A．v的最小值为gL B．v若增大，向心力也增大 O L ω C．当v由gL逐渐增大时，杆对球的弹力也增大 D．当v由gL逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小 7．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 ( ) A．小球通过最高点的最小速度为v=B．小球通过最高点的最小速度为0 3 Rg C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．小球在水平线曲以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 8．如图所示，一质量为m的木块从光滑的半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中 A．它的加速度方向指向球心 B．它所受合力就是向心力 C．它所受向心力不断增大 D．它对碗的压力不断减小 9．如图所示，小物体位于半径为R的半球顶端，若给小物体以水平初速度v0时，小物体对球顶恰无压力，则 ( ) A．物体立即离开球面做平抛运动 B．物体落地时水平位移为2R C．物体的初速度v0=gR D．物体着地时速度方向与地面成45°角 10．杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出来，这是因为 ( ) A．水处于失重状态，不受重力的作用了 B．水受平衡力作用，合力为0 C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D．杯子特殊，杯底对水有吸力 11．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为 ( ) A．0 B．mg C．3mg D．5mg 12. 杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求： 最高点水不流出的最小速率； 水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力。
13. 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 m A L O 4 。