专题--平面向量C.ur uure1 (3,5), e2 (6,10)D.ur uur 1 3e (2, 3),e ( , )1 22 4（答： B）；1. 向向量的相关概念、 、u uur uuur（3）已知 AD , BEu uur r uuur r分别是 ABC 的边 BC, AC 上的中线 , 且 AD a, BE buuur, 则 BCr r可用向量 a,b表示为 _____r r（答： 2 4a b3 3）；（ 4 ） 已 知 ABC 中 ， 点 D 在 BC 边 上 ， 且 CD 2 DB ， CD r AB s AC ， 则 r s 的 值 是（答： 0）四．实数与向 量的积：实 数 与向量 a 的积是 一个向 量，记作 a ， 它的长 度和方向 规定如下：r r1 a a , 2当 >0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当 <0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当2. 向量的线性运算r r＝0 时， a 0，注意 ： a ≠0五．平面向量的数量积 ：uuur r uuur r1．两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ，b ，作 OA a, OB b， AOB0 称为向量 a ，b 的夹角，当 ＝0 时， a ，b 同向，当 ＝ 时， a ，b 反向，当 ＝2时， a ，b 垂直。
r r2． 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为 ，我们把数量 |a ||b | cos叫做 a 与b 的r r数量积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b ＝ a b cos规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 如二．向量的表示方法 ：（1）△ABC中， | AB | 3，| AC | 4 ，| BC | 5，则 AB BC _________ （答：－ 9）；1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ，b ， c等；r r r r r ur r r r 1 1ur（2）已知， c与 d的夹角为，则 等于___ 1 k （答： ）；a (1, ),b (0, ),c a kb, d a b2 24r r r r r r（3）已知 a 2, b 5,a b 3g ，则 a b等于 ____ （答： 23 ）；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面r r r内的任一向量 a 可表示为 a xi y j x, y，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x,y 叫做向量 a 的坐标表示。
如果 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同r r（4 a,b ）已知 r3．b 在a 上的投影 为|b | cos，它是一个实数，但不一定大于 0如三．平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1 、 2 ，使 a= 1 e1＋ 2 e2如r r（1）若a (1,1),br(1, 1), c ( 1,2)r，则 c______ （答： r r1 3 a b2 2）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是已知 | a | 3，| b | 5 ，且 a b 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ______ （答：r4． a ? b 的几何意义 ：数量积 a ? b 等于 a的模 |a |与b 在a 上的投影的积5．向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ，b ，其夹角为 ，则：125）A.ur uure1 (0,0), e2 (1, 2)B.ur uure1 ( 1,2), e2 (5,7)r r r r①a b a ?b 0；r r②当 a ，b 同向时， a ? b ＝ a b，特别地，r r r r r r2 2 2a a ?a a , a ar r；当a 与b 反向时， a ? b ＝－ a b； ① 向量的加减法运算 ：r ra b (x x1 2，y1 y2 ) 。
如r r r r当 为锐角时， a ? b ＞0，且 a、b 不同向， a b 0是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时， a ? b ＜已 知作 用 在点 A(1,1)的 三 个 力uur uur uurF1 (3,4), F2 (2, 5), F3 (3,1)， 则 合力ur uur uur uurF F F F1 2 3的 终 点 坐标 是r r r r0 ，且 不反向， a b a b 0 、是 为钝角的必要非充分条件 ；r rr r r ra?b③非零向量 a ，b 夹角 的计算公式： cosr r | a?b| | a ||b| ；④a b如（答：（9,1 ））r② 实数与向量的积 ：a x , y x , y 1 1 1 1uuur③若A(x , y ), B(x , y ) AB x x , y y ，则 2 1 2 11 1 2 2，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 如（1）已知 a ( ,2 ) ， b (3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ______4 1（答： 或 0且）；3 3uuur uuur uu ur u uur设 A(2,3), B( 1,5) ，且 1 AC AB ， AD 3AB3r r④ 平面向量数量积 ：a ?b x x y y 。
1 2 1 2，则 C、D的坐标分别是 _____（答：11(1, ),( 7,9)3）；（2）已知 OFQ 的面积为 S，且 OF FQ 1，若123S ，则 OF , FQ 夹角 的取值范围是 _________2⑤ 向量的模 ：r r r22 2 2 2 2|a | x y , a |a | x y如（答： ( , )4 3）；r r已知 a,buur r均为单位向量，它们的夹角为 60 o ，那么 |a 3b |o ，那么 |a 3b |＝_____ （答： 13 ）；六．向量的运算 ：1． 几何运算 ：⑥ 两点间的距离 ：若A x1,y1 ,B x2 , y2 ，则2 2| AB | x x y y 2 1 2 1①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向uuruuu ur r uu ur r量 加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ”： 设 AB a, BC b r r uu ur uu ur uuura b AB BC AC；减向量的终点注意：此处减向量与被减向量的起点相同 如rr， 那 么 向 量 AC叫 做 a与 b的 和 ， 即uu ur r uuur r r r uu ur uu ur uuur②向量的减法：用“三角形法则” ：设 AB a, AC b, a b AB AC CA那么 ，由减向量的终点指向被七．向量的运算律 ：r r r rr rr r r r， a?b b?a；r r r r r r， a ?b a?b a ? br r r r r r r， a b ?c a?c b ?c。
1．交换律： a b b a， a ar r r r r r r r r r r r2．结合律： a b c a b c,a b c a b cr r r r r r r3．分配律： a a a, a b a b；uuur uuur u uur（1） 化简：① AB BC CDuuur uu ur uuur___；② AB AD DCuuur u uur uu ur uuur____；③ ( AB CD) ( AC BD)_____如uuruuu urr（答：① AD；② CB；③ 0）；uuur r uuur r uu ur r（2） 若正方形 ABCD的边长为 1， AB a, BC b, AC cr r r，则 | a b c |＝_____（答： 2 2 ）；下列命题中：① a (b c) a b a c ；② a (b c) (a b) c ；③r r r r22 | a | |b | | b | ；④ 若 a b 0 ，则 a 0或 b 0；⑤若 a b c b,2(a b)r r则 a c2| a |；⑥r r2 2a a；⑦r r ra b b rr ；2 aauuur u uur uu ur uu ur u uur（3）若 O 是 VABC 所在平面内一点，且满足 OB OC OB OC 2O A，则 VABC 的形状为 ____⑧r r r r2 22(a b) a b；⑨r r r r r r2 22(a b) a 2a b b。
其中正确的是 _____（答：①⑥⑨）（答：直角三角形） ； 提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同uuur uuur u uur r（4）若 D 为 ABC的边 BC 的中点， ABC所在平面内有一点 P ，满足 PA BP CP 0，设u uur| AP |uuur ，| PD |乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 ( 相约) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a(b ?c) (a ?b)c ，为什么？则 的值为 ___ （答： 2）；uuur uu ur uuur r（5）若点 O 是△ABC 的外心，且 OA OB CO 0，则 △ABC 的内角 C 为____（答： 120 o ）；o ）；2． 坐标运算 ：设r ra (x , y ),b (x , y )1 1 2 2，则：r r r r八．向量平行 ( 共线) 的充要条件 ：a // b a br r(1) 若向量 a。