单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分的计算,习题课,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1.关于坐标系的选择,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,一、主要内容,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2.关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简,3.关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为,圆形、扇形、圆环形,看图定限,穿越法定限,和,不等式定限,先选序，后定限,直角坐标系,.先,y,后,x,，,过任一,x,a,b,作平行于,y,轴的直线,穿过D的内部,从D的下边界曲线,穿入,内层积分的下限,从上边界曲线,穿出,内层积分的上限,.先,x,后,y,过任一,y,c,d,作平行于,x,轴的直线,定限,左边界,内层积分的下限,右边界,内层积分的上限,则将D分成若干个简单区域,再按上述方法确定每一部分的上下限,分片计算，结果相加,极坐标系,积分次序一般是,过极点O作任一极角为,的射线,从D的边界曲线,穿入,从,穿出.,.如D须分片,内下限,内上限,具体可分为三种情况,极点在D的边界上,是边界在极点处的切线的极角,绝大多数情况下为0,极点在D的内部,化累次积分后,外限是常数,内限是外层积分变量的函数或常数,极坐标系下勿忘,r,极点在D的外部,4.关于对称性,利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是,要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，,不可误用,对,若D关于,x,轴对称,若D关于,y,轴对称,若D关于,原点,对称,奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.,对于变量x,y来说，可以简述为,“,你,对称，我,奇偶,”,、简单地说就是：,1.,设积分区域,D,关于,x,轴对称，,D,1,是,D,中对应于,y,0 的部分。
对称性的证明,则,证,（1）积分区域如图：,由积分区域,D,关于,x,轴对称性,于是,（2）积分区域如图：,由积分区域,D,关于,x,轴对称性,于是,二、例题分析,例.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域,则,解,原式,例 计算,解,D,Y,型,I =,若先,y,后,x,由于D的下边界曲线在,x,的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦2,1,2,1,解,例 计算,解,根据积分区域的特点,1,4,-1,2,应先对,x,后对,y,积分,但由于,对,x,的积分求不出，无法计算，,须改变积分次序先,x,后,y,有,奇函数,解,例 计算,解,积分区域由不等式给出,在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆,但它们围不成区域,都有意义,必须限制,因此D只能在,x,=0,，x,=2 之间,确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单,显然,r,呢？,极点在D的边界上，所以,那就错了,不能以为极点O在区域的边界上,就误以为对,r,积分的下限为0,定,r,的积分限，应先固定,以原点为起点作射线,这射线和两个半圆相交,穿入;,从,从,穿出.,积分限如何确定,尽管极点在D的边界上,但极角为,的射线并不是从极点穿入,而不是,域D的极坐标表示为,解,例 计算,D,1,D,2,三、对称性的应用例举,例,.,(1),解,D,区域关于,x,轴对称，且,而,而,因此，,解：能否用对称性？,（4）,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所示),显然,(5)计算,D,2,D,1,解,解,D关于,x,y,轴及原点对称,故,故,（6）计算,习题解析,5.交换积分次序:,习题解答,1,-2,2,0,。