word幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：〔，、，且〕负分数指数幂的意义是：〔，、，且〕1、 幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 时，幂函数图像过原点且在上是增函数．③ 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy幂函数根本性质〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；〔2〕α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数〔3〕α＜0时，幂函数的图象在区间〔0，+∞〕上是减函数.规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进展讨论； 2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的根本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横〞，即＞0〔≠1〕时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．2、 幂函数的应用xOy例1、 幂函数〔、，且、互质〕的图象在第一，二象限，且不经过原点，如此有 〔 〕、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且xOy例2、 右图为幂函数在第一象限的图像，如此的大小关系是 〔 〕 解：取，由图像可知：，，应选．例3、 比拟如下各组数的大小：〔1〕，，； 〔2〕，，；〔3〕，，．解：〔1〕底数不同，指数一样的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．〔2〕底数均为负数，可以将其转化为，，．∵在上单调递增，且，∴，即，∴．〔3〕先将指数统一，底数化成正数．，，．∵在上单调递减，且，∴，即：．点评：比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是： 〔1〕假如能化为同指数，如此用幂函数的单调性； 〔2〕假如能化为同底数，如此用指数函数的单调性； 〔3〕假如既不能化为同指数，也不能化为同底数，如此需寻找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小．例4、 假如，某某数的取值X围．分析：假如，如此有三种情况，或．解：根据幂函数的性质，有三种可能：或或，解得：．例3．幂函数〔〕的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数〔〕的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f〔x〕＝x3， 〔1〕求它的反函数； 〔2〕分别求出f－1〔x〕＝f〔x〕，f－1〔x〕＞f〔x〕，f－1〔x〕＜f〔x〕的实数x的X围． 解析：〔1〕由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1〔x〕＝x． 〔2〕∵函数f〔x〕＝x3和f－1〔x〕＝x的图象都经过点〔0，0〕和〔1，1〕．∴f－1〔x〕＝f〔x〕时，x＝±1与0； 在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1〔x〕＞f〔x〕时，x＜－1或0＜x＜1；f－1〔x〕＜f〔x〕时，x＞1或－1＜x＜0．点评：此题在确定x的X围时，采用了数形结合的方法，假如采用解不等式或方程如此较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4〔x≥－32〕值域． 解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，如此y＝t2＋2t＋4＝〔t＋1〕2＋3． 当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4〔x≥－32〕的值域为［3，＋〕． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1. 如下函数中不是幂函数的是〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｃ2. 如下函数在上为减函数的是〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ3. 如下幂函数中定义域为的是〔 〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝〔x2－2x〕的定义域是〔 〕 A．{x|x≠0或x≠2} B．〔－∞，0〕〔2，＋∞〕 C．〔－∞，0〕］［2，＋∞］ D．〔0，2〕 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：B5．函数y＝〔1－x2〕的值域是〔 〕 A．［0，＋∞］ B．〔0，1〕 C．〔0，1〕 D．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，如此y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D6．函数y＝的单调递减区间为〔 〕 A．〔－∞，1〕 B．〔－∞，0〕 C．［0，＋∞］ D．〔－∞，＋∞〕 解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞〕上单调递增，由对称性可知选B．答案：B7．假如a＜a，如此a的取值X围是〔 〕 A．a≥1 B．a＞0 C．1＞a＞0 D．1≥a≥0 解析：运用指数函数的性质，选C．答案：C8．函数y＝的定义域是。
解析：由〔15＋2x－x2〕3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．答案：A9．函数y＝在第二象限内单调递增，如此m的最大负整数是________．解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．答案：m＝－110、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y＝是幂函数． 〔1〕要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R． 〔2〕∵xR，∴x2≥0．∴y≥0． 〔3〕f〔－x〕＝＝＝f〔x〕，∴函数y＝是偶函数； 〔4〕∵n＝＞0，∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增． 由于幂函数y＝是偶函数，∴幂函数y＝在〔－，0〕上单调递减． 〔5〕其图象如如下图所示．12．函数y＝． 〔1〕求函数的定义域、值域； 〔2〕判断函数的奇偶性； 〔3〕求函数的单调区间． 解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，如此y＝， 〔1〕由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，∴t＝16－〔x－1〕2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． 〔2〕∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． 〔3〕∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x〔1，3〕时，t随x的增大而减小． 又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为〔1，3］．答案：〔1〕定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； 〔2〕函数即不是奇函数，也不是偶函数； 〔3〕〔1，3］． / 。