集合及其表示方法知识精要1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集集合中的各 个对象叫做集合的元素集合、元素以及关系的表示符号：集合常用大写英文字母A、B、C……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……来表示如果a是集合A的元素，记作a e A 记作a电A，读作“a不属于A”读作“a属于A ”；如果a不是集合A的元素，2集合元素的特性（1） 确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即a e A与a电A，二者必居其一） 元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）2） 互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都 是不同的对象）3） 无序性：不考虑集合中元素之间的顺序3. 集合的分类（1） 有限集：含有有限个元素的集合；（2） 无限集：含有无限个元素的集合；另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等4. 空集：空集不含元素记作05. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号 隔开，并且写在大括号内例如：不等式2x-11 < 0的正整数解的集合，可以表示成｛1, 2, 3, 4, 5｝。
｛X + y = 5’ 的解组成的集合可表示为｛（2,3）｝x - y =-1①a与｛a｝不同：a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素②元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖 线后面写出集合中元素所共同具有的特性其形式是｛x|x满足性质p｝例如：方程x2-x — 6 = 0的解的集合，可表示为｛x 1 x2 — x — 6 — 0｝；又如：直线x+y=1上的点组成的集合，可以表示为：｛（x，y）x + y =1｝注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用 描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法 如集合｛X2 ,3x + 2,5y 3 - x，X2 + y 2｝2) 当集合中元素个数较少时，多用列举法3) 当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供 —定规律可用省略号代表余下的元素如：从51到100的所有整数组成的集合：｛51,52,53,…,100｝;所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,7,・・・｝。
4) 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出 来，常用描述法注：1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，即锐角三角形｝，但不可写 成｛所有锐角三角形｝或｛锐角三角形集｝,因为集合符号“｛ ｝”已包含“所有”的意思；且“｛ ｝” 就是集合的符号，因而大括号内的文字描述，不应再用“全体” “所有” “全部”或“集” 等术语2)用描述法表示一个集合，必须认真找出集合中元素的公共属性，既要是每一元 素所共有，又要不为集合外其它元素具有例如将1、3、5、7、9所组成的集合表示为：｛小于10的自然数｝就不对，因为1、3、 5、7、9虽然是小于10的自然数，但尚有其他小于10的自然数2、4、6、8等不是集合 中的元素6•常用数集的符号表示：数的集合简称数集自然数集，记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N* 整数集，记作Z ；正整数集，记作Z + ；负整数集，记作Z-； 有理数集，记作Q;正有理数集，记作Q +;负有理数集，记作Q-； 实数集，记作R ；正实数集，记作R + ；负实数集，记作R-.精解名题例1•判断下列对象能否组成集合:(1) 不等式2x — 5 < 0的正整数解；(2) 方程x + 2 y -1二0的解；(3) 数轴上非常靠近原点的点；(4) 使1 x -11的值很小的x的值。
注意：元素的属性是明确的(模棱两可是不可以的)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就 必须符合条件.例2.用e或纟填空：⑴ 0{0}； (2) 0 0 ； ⑷-1 Z ； (5)富 Q ；(3) 0 N ；(6) 0 N*注：｛0｝、①与｛①｝区别：它们都表示集合但｛°｝只有一个元素0;①不含任何元 素；｛①｝是以空集作为元素的集合例3.用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x的不等式1 X |< 5的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程(X2 -1)(X2 - X — 2)二0的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数y =|x|-3的所有函数值组成的集合例 4.判断元素 0 ， 1 ， ( 0 ， 1 ) 分别与集合A={x|y=X2+1},B={y|y=X2+1},C={(x,y)|y=X2+1}之间的关系注意：点集与数集的区别集合中的元素可以是数、点、图形甚至是集合 例5•已知集合A二{2x,x2-x},求x的取值X围.例 6.已知集合 A 二{2,a2 +1,a2 -a},B = {0,7, a2 -a —5,2 — a},5 e A，求集合B 。
例7•用列举法表示下列集合：12(1) A = {x I e N,x e N};6 一 x(2) B 二{(x, y)1 x + 2y 二 7,x e N*, y e N*}⑶ C 二{y I y 二 x2 —1,| x I< 2,x e Z}.备选例题例1、用适当的方法表示下列集合(1) 大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A(2) 被3除余2的自然数全体组成的集合b(3) 直角坐标平面上第二象限的点组成的集合c例2、已知集合A = ｛x|ax2+ 2x +1 = 0,x e r｝，a gR，若集合A中至多有一^元素，求a例3、设集合A二｛(x,y)|x+y=6, x g N, y g N｝，使用列举法表示集合A例4.关于x的方程ax2 + bx + c = 0(a丰0)，当a,b,C分别满足什么条件时解集巩固练习一、选择题1、下列给出的对象中，能表示集合的是（）A、一切很大的数B、无限接近零的数C、聪明的人 D、方程x 2 = 一2的实数根2、给出下列命题：1） N中最小的元素是1;2） 若a g N，贝I」一 a电N ；3） 若a g N b g N则a+b的最小值是2其中所有正确命题的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、33、由a2,2 — a，4组成一个集合A, A含有3个元素，则实数a的取值是（ ）A、1 B、-2 C、6 D、24、 下列集合表示法正确的是（ ）A.｛1,2,2｝ B.｛全体实数｝C.｛有理数｝ D.不等式x2 — 5 > 0的解集为｛ x2 — 5 > 0 ｝5、 设A=｛a｝，则下列各式正确的是（ ）A、0 g A B、a 纟 A C、a g A D、a=A6、 集合｛x g N + 1 x < 5｝的另一种表示法是（ ）A、｛0, 1,2,3, 4｝ B、｛1, 2, 3, 4｝C、｛0, 1,2,3, 4, 5｝ D、｛1 , 2, 3, 4, 5｝7、 由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A、｛x|-3