第一讲 工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率工作时间＝工作总量， 工作总量工作时间＝工作效率，工作总量工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析 设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为，乙、丙合作的工效为，甲、丙合作的工效为因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为＋＋，所以甲、乙、丙三队合作的工效为（＋＋）2=因此三队合作完成这项工程的时间为1=10（天）解：1[（＋＋）2]=10（天）答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的批零件各需几天？分析 设一批零件为单位“１”，其中６天完成任务，用表示师徒的工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．解：师傅工效：（－３）２＝； 徒弟工效：－＝； 师傅单独做需几天：１＝10（天） 徒弟单独做需几天：1＝15（天）。
答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题解：设甲做了x天．那么，甲完成工作量的，乙做的天数10－，乙完成工作量（10－），因此＋（10－）=1，两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36x＝4． 答：甲做了4天． 例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下： 由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时：63＋12＝30（小时）．若由甲单独做需几小时：8＋63＝10（小时）．甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10－3） 3＝21（小时）．答：乙还需21小时完成．例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的。
如果想提前6天完工，还需增加多少人？分析 由18人修12天完成了全部工程的，可通过1812求出用一天完成工作量共需要的总人数，也可通过1812求出用一人完成工作量共需要的总天数所以由（1812）求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）： （182）=②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1－）[（30－12－6）]==36（人）③需增加几人：36－18＝18（人）．答：还要增加18人．例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1（进水管工效－出水管工效）排空水的时间＝1（出水管工效－进水管工效）．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池中的水每小时减少－=水池中有半池水即，经过6小时后还剩－（62）=。
如果按进水、排水的顺序进行，则又应进水1小时，这时水池内共有水＋=如果按每小时的流速排出需要=（小时），共用的时间为6＋1＋=7.9（小时）=7小时54分刚好排完例7 一件工作，甲5小时先完成了，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？解：甲工作效率：5=；乙工作效率：（1－）6=；余下部分甲、乙合作需要几小时：（1－）（1－）（＋）=（小时）答：还需要小时才能完成任务 例8 甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差乙知甲比乙所用的时间多，可以求出甲与乙所用的时间比为4：3当工作总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为：1=4：3，所以甲与乙的工效比是3：4这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了解：设乙所用时间为“1”，甲的时间是乙的1＋=（倍），则甲与乙的时间比是4：3。
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4共植树多少棵：36（－）=252（棵）答：这批树一共252棵．例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成乙知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？分析 欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16天，乙做12天共完成工程的，也即相当于甲、乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成这批零件的；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？ 12= 甲1天能完成全工程的几分之几？ （－）（16－12）=乙1天可完成全工程的几分之几？－=这批零件共多少个？3（－）=360（个）答：这批零件共360个．例10 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？分析 要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？ 1（＋）=（小时）②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1－7（＋）=③余下的由甲单独做需要多少小时？ =（小时）④共用了多少小时？ 72＋=（小时） 答：共用了小时。
习题一1，一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？2，一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天3，客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？4，水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱现在两管同时注水2.5分钟，注满水箱的如果单开乙管需要多少分钟注满水箱？5，一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．6，一项工程，甲、乙两队合作6天能完成已知单独做，甲完成与乙完成所需时间相等问单独做甲、乙各需多少天？7，做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？。