第二节 正项级数的判别法一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★正项级数★比较判别法★ 例 1★例2★例3★ 例 4★例5★比较判别法的极限形式★ 例 6★例7★例8★ 例 9★例 10★比值判别法★ 例 11★例 12★例 13★根值判别法★ 例 14★例 15★例 16★积分判别法★例 17★内容小结★课堂练习★习题 12-2★返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列｛s ｝有界.以此为基础推出一系列级 n数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论） 比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比 较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用 定理 2 进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判 别法.至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及p -级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数 的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比 较判别法的极限形式.u―n-+1un存在或等于无穷使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面 介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合u 与u有公因式且lim n+1 nns大的情形.nT8根值判别法（柯西判别法）：适合u中含有表达式的n次幕，且lim 臥 =P或等于 n n积分判别法：对于正项级数区a ,，如果｛a ｝可看作由一个在［1,+^)上单调减少函数 nnn=1f (x)所产生，即有a = f (n).则可用积分判别法来判定正项级数艺a的敛散性. nnn=1例题选讲比较判别法的应用1 1 1例1 (E01)讨论p 级数1 + + +••• + + •••(p > 0)的收敛性.2 p 3p n p11解 p < 1时，T >_, :. p -级数发散.n p np >1时，由图可见1 « dXn p n -1 x p13pnp1-丄np-1 丿< 1 + \2 空 + …+ \n 竺=1 + Jn 竺=1 + 丄'1 xp n-1 xp 1 xp p — 11即s有界，••• p —级数收敛. n当p>1时收敛故p —级数V当p < 1时发散例2 (E02)证明级数乞 = 是发散的.”肿'n(n +1)证 •••」 〉丄,而级数艺丄 发散,Jn(n +1) n +1 1 n +1n—11n(n +1)发散.2n +1例3 (E03)判别级数乙 的收敛性.(n+1)2(n+2)2n =1解 运用比较判别法.因2n + 22n +1< <(n + 1)2(n + 2)2 (n + 1)2(n + 2)2 (n +1)3 n 3而艺丄是收敛的，所以原级数收敛. n3n=1例4 (E04)设a < c < b (n = 1,2,…),且区a及区b均收敛，证明级数区nnn =1 n =1nnc收nn=1敛.证 由 a < c < b , 得nnn0 < c 一 a < b 一 a (n = 1, 2,…), nnnn由于艺a与艺b都收敛，故艺(b -a )是收敛的,n n n nn =1 n =1 n =1从而由比较判别法知，正项级数区(c -a )也收敛.nnn =1再由艺a与艺(c -a )的收敛性可推知：级数艺cn n n nn =1 n =1 n =1= ^[a )]也收敛.n n nn =1=J 4 tannxdx，证明级数区上0n九n=1(九＞ 0)收敛.由a =Jn兀4 tan n xdx0< 4 tannxsec2xdx 04 tan n xd tan x 0tan n+i x1n+1得0＜作＜—^.因为1 +入＞ 1,所以区收敛, n尢 n】+尢 ni+入n=1由比较判别法知艺+收敛.n入n=1比较判别法及其推论的应用例6 (E05)判定下列级数的敛散性:y ( 1 ) 乙 In 1 + 一 ;’ I n 2 丿区 Jn +1 1 -n=1cos —n=11 1解 (1)因In 1 h (nTa),故n2k n 2丿根据极限判别法,知所给级数收敛., /=lim n3 /2 u v' n +1 1 一lim n 2unnTa(1A=lim n2 ln 1 h nT<» V n2 丿=limn2 •— = 1nTa n 2(2) 因为 lim n3 /2unT8nnTa兀\cos —n丿=lim n 2」出nTa根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7判别级数艺（n + a）的敛散性.nnhan=1nnI + a AnI + a Ak n丿k n丿nnnana(n + a)nnnha1采用比较法的极限形式，取v =丄，因 n nalim=lim〔1 + a 丫=ea 丰 0,n Ta vnn Tak n 丿所以原级数与级数艺1具有相同的敛散性,从而知nan=1当a > 1时，级数艺必—收敛；n n + an=1当a < 1时，级数区心上发散.n n + an=1例8判别级数瓦化-sin耳的敛散性.V n n丿n=1解 选取级数区〔仝丫作比较.k n丿・兀 x 一 sin由 lim nxT0 x 3=lim1 - COs X =丄,可得 limxT0 3x 2 6nTa3x2兀 .兀一 sinn n〔兀A3因级数£ f-Y收敛,所以原级数也收敛.A n丿n=1注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项u趋向于零的“快慢”程度.ny f 1 n +1 \例9 (E06)判别级数乙| -In 的敛散性.,In n 丿n=1解 令 u(x) = x 一 ln(1 + x) > 0(x > 0), v(x) = x2.由于从而 limntsn2x — ln(1 + x) limxt+s x2= limnts1一limxt+s2xlimxt+s12(1 + x)1 n +1-lnn2由级数为丄的收敛推知本题所给级数也收敛.n2n=1例10级数区丄，当p > 1时收敛，有人说，因为1 + - > 1,故级数£n p nn =1 n=11—收敛.你认 1+丄nn为他的说法对吗?解 不对•前者p -级数的p是一常数与n无关,而后者1 +丄与n有关,事实上n]1+丄 _lim—-_- = lim (nn)-1 = 1 n* 1/n n*由级数艺1的发散性，可知级数另亠 也发散.n 1+1n =1 n =1 n n例11 (E07)判别下列级数的收敛性:£ 1(1)乙 n!n=1(2)艺n!10nn=1(3)£s1(2n -1)- 2nn=1》0,故级数艺丄收敛.n!n=111/n! n +1解⑴ J = 1/(n +1)!=un(2) 乩 =(n +1)! -10 s >8,故级数艺旦 发散. u 10 n+1 n! 10 nn n=1⑶lim Un+1 = lim (2n -1) • 2n = 1,比值判别法失效，改用比较判别法,n>8 u n>8 (2n + 1) • (2n + 2)n因为 1 < 1，而级数区—收敛，所以空 1 收敛.(2n 一 1) - 2n n 2 n 2 (2n -1) - 2nn=1 n=1例12 (E08)判别级数乞 n 的散敛性.厂 1、nn=1 2 +I n丿解 因为」 < 吐,而对于级数艺n2,由比值判别法，因(2 + b 2 ” n=12 nnu (n +1)2 2n 1 1 1lim n+1 = lim - = lim (1 +■—)2 = < 1,n>8 u n>8 2n+1 n2 n>8 2 n 2n所以级数艺n2收敛,从而原级数亦收敛.2nn=1例13判别级数垃血 (a > 0)的收敛性.nnn=1解 采用比较判别法,由于u an+1(n +1)! nn a alim -n 11 = li^m • = li^m =—,n>8 u n>8 (n +1)n+1 an-n! n>8 (1 +1 /n)n en所以当0 < a < e时，原级数收敛;当a > e时，原级数发散;当a = e时，比值法失效，但此时注 意到:数列xn1 \ n (1严格单调增加，且1+ n丿 k1、n< e, n丿于是=旦〉1,即u > u ,故u > u = e,由u x n +1 n n 1nn此得到lim u丰0,所以当时原级数发散.nn>88例14判别级数£n =1的散敛性.解一般项含有n次方，故可采用根值判别法.因为lim n'unnT8 nT8f 1、n2=lim n 1 n丿=lim 1 nsJ n 丿故所求级数收敛.例15 (E09)判别级数为2-n-(-1)n的收敛性:n=1解 因为lim nunnT8=lim n 2-n-(-n)nnTg亠a 1=lim 2 n = < 1ng 2由根值判别法知题设级数收敛.例16 (E10)判别级数为2 + (-1)n的收敛性.2nn=1解因为丄< 2 + (-1)n丄2 n 2 n 2 n而 lim丄,lim n：2 =丄2 n*n 2n 2lim：= 1 < 1n* 2n 2故原级数收敛.例17 (E11)试确定级数为叵的敛散性.nn=1解若设f (x)=旦,则显然f (x)在x > 1时非负且连续.x。