1第2 章 光的衍射（ Diffraction of Light ）§§2.3 菲涅耳半波带菲涅耳半波带 Fresnel Half-wave Zone使用菲涅耳衍射积分公式计算菲涅耳衍射场 十分复杂不易严格求解在衍射屏具有对称性的一些 简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可 以十分方便地对衍射现象作定性或半定量 的解释本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题2现以点光源为例说明惠更斯－菲涅耳原理的应用如图：P0r1r2r3r4ro为了确定光波到达对称轴上任一点P时，波面S所起的作用，连OP 与球面相交于B0点，B0点称为P点对于波面的极点B0O为点光源， S为任一时刻的波面，R为半径令 PB0＝r0，设想将波面分为许多环形带，使从每两个相邻带的相应边缘到P点的距离相差半个波长SR2.3.1 菲涅耳半波带菲涅耳半波带321231201λ=−==−=−=−−kkrrrrrrrr "即在这种情况下，由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为λ/2，即它们的相位差为π，这样分成的环形带叫做 菲涅耳半波带以a1、a2、a3、 …分别表示各半波带发出的次波在 P点所产生的振幅。
由于相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位相差 π，所以 k个半波带所发出的次波在 P点叠加的合振幅Ak为：2.3.2 合振幅的计算合振幅的计算kkkaaaaaaA154321)1(.......+−+++−+−=4下面来比较a1、a2、a3、 …的大小按惠更斯 —菲涅耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为：kkkrsKakΔ∝)(θ为了计算kkrSΔ如图，求球冠的面积：)cos1(2 ϕπ −⋅= RRS )cos1(22ϕπ −= R（ 1）OR0BkBkθhRkrl0rPϕ微分得ϕϕπ dRdS sin22=5由图可得（余弦定理）)2()(2)(cos02202rRRrrRRk+−++=ϕ微分得02sin2( )kkrdrdR Rrϕϕ−−=+OR0BkBkθhRkrl0rPϕ即0sin()kkrdrdR Rrϕϕ=+ϕϕπ dRdS sin22=代入到可得：02rRRdrrdskk+=π6因为 rk>>λ， 故可将 drk看作相邻半波带间 r的差值λ/2， dS看作半波带的面积，于是由此可见：kkrSΔ与k 无关即它对每一个半波带都是相同的，这样影响 ak的大小因素中，只剩下倾斜因子 了。
)(kKθ0rRRrSkk+=Δ λπ02rRRdrrdskk+=πkkkrsKakΔ∝)(θ7从一个半波带到与之相邻的半波带， θk变化甚微由2cos1)(kkKθθ+=kaaaaa ≥≥≥≥≥ " "4321由于各半波带在 P点的振幅其大小是缓慢的单调下降，因此近似地 有：22312aaa +=22534aaa +=22,11 +−+=kkkaaa "随着倾角的增大，而缓慢地逐渐减小随着 k的增大，而缓慢地逐渐减小 )(kKθkkkrsKakΔ∝)(θ8当k 为奇数时，则2......)22()22(25433211 kkaaaaaaaaA +++−++−+=)1(221 kkaaA +=当 k为偶数时，则2......)22()22(25433211 kkaaaaaaaaA −++−++−+=)2(221 kkaaA −=综合（ 1）、（ 2）两式，有：2)1(211 kkkaaA+−+=9对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k →∞，ak→0，则对于给定轴线上的一点P的振幅为：1210aA =即球面波自由传播时，每个球面波上各次波波源在 P点产生的合振动等于第一个半波带在 P点产生的振动 振幅的一半 ，强度为 它的 4分之 1。
21410aI =2)1(211 kkkaaA+−+=10各半波带在 P点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示为清楚起见，将各矢量彼此错开，如图1a2a3a4a5akA奇数个半波带1a2a3a4a5a6akA偶数个半波带矢量 a1的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高， 从基线指向最末一矢量ak终点的即为合振动Ak的振动矢量2.3.3 矢量合成法矢量合成法本节结束。