第 19 卷 第 3 期桂 林 电 子 工 业 学 院 学 报Vol. 19, No. 31999年 9 月JOURNAL OF GUILIN INSTITUTE OF ELECTRONIC TECHNOLOGYSep. 1999 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析X王建华(华东船舶工业学院 电子信息系)摘 要 根据高斯光束在均匀介质中的传播特点, 用几何光学方法阐述了自聚光纤的原理, 分析了一束单模高斯光束在自聚光纤中的传播行为, 说明这种中心折射率大, 四周逐渐减小光纤具有自聚焦能力关键词 光纤通信; 折射; 透镜中图法分类 T N929. 11引 言光纤通信技术发展非常迅速, 在短短的 20 多年时间里, 就完成了以基础研究到大规模应用过程光纤通信以短距离、 低速率到长距离、 高速率; 以多模通信发展到单模通信 在光纤中传播的光是光束, 最有代表性的是单模光束( Gaussian Beam) 光束在传播过程中由于衍射的原因, 光束的截面将逐渐扩展, 自聚焦光纤( SELF-OC FIBER) 是一种新型光纤, 由于它本身折射率( 经 向分布) 的渐变特点, 以起到类似于透镜聚焦的作用,因此也叫类透镜( LENSLITKE) 光纤, 光束在这种光纤中传播可以不断地被聚焦, 使传送的图象畸变小。
1 高斯光束在均匀介质中的传播单模高斯光束的特点是: 在垂直光束传播方向的剖面上, 光强的分布有轴对称性, 而且按高斯函数即e-r2w2的形式分布其中 r 是该点到光束中心的距离, 每一个剖面上 w 是一个常数( 后面可以看到它表示为光 束截面的粗细) 在无自由电荷的均匀无界介质中, 麦氏方程组为:ý × H~= ∈5 E′5tý × Ey= - L5H 5t ý õ( ∈ Ey) = 0ý õ( LH~) = 0( 1)若电磁场是单色时谐的, 即W ( x , y, z, t) = ReW( x, y, z) eit( 2)时, 则由麦氏方程组可直接推得亥姆霍尔兹方程即Helmhortz 方程:ý2W= K2W= 0( 3)式中W是场量Ey, H~的任意分量( 即 Ex, Ey, Ez, H x,Hy 和 H z 中的任一个) k2= w2LE在非均匀及非完纯介质中 K 将是位置的函数, 而且是复数 毫无疑问, 单模高斯光束也应符合( 3) 式 做 为试探解, 设光束方程有如下形式:W= W0( x , y, z) e- iKZ( 4)( 我们已将时间因子 eit略去了) 式中 W 0代表波束中 场量的振幅。
显然, 在波束( 即非无界平面波) 的条件下 W0是坐标的函数, 这是因为: ¹ 如前所述, 在单模高斯光束中 W0应按因子 e-r2w2= e1 w2(x2+ y2)而变; º随着波束的传播, 波束宽度将产生变化, 因而即使不计介 质的吸收, W0也会随 Z 而变( 尽管这种变化是缓慢的) 因此, 可以假定 W0有如下形式:W0( x, y, z) = U ( Z) e- f ( z) r2( 5)X1998- 10- 22 收稿, 1999- 05- 13修改定稿作者 男 45 岁 江苏镇江 212003若采用圆柱坐标系( 3) 式可写做:ý2W=1 r5 5r( r5W 5 r) +1 r252W5U2+52W5z2将( 4) 式代入( 3) 式, 并考虑 W与方位角 U无关, 以及W0随 Z 变化是极缓慢的, 因而52W5U2= 0, 并可以略去52W0 5Z2.得 52W0 5r2+1 r5 W0 5r- 2ik5W0 5Z= 0将( 5) 式代入上式, 则有:( 2U f2+ ikU f ′ ) r2- ( 2U f + jkU ′ ) = 0,式中 f ′ =df ( z ) dz, U ′ =dU ( z ) dz若 r 取任意值上式皆成立, 则必须:2f2+ ikf ′ = 02U f + ikU ′ = 0( 6)若( 6) 式有解, 则( 5) 式即为所求的光束方程。
由( 6) 式不难求得:f ( z) =1 w2( z )( 1 + i2z kw20)( 7)U ( z) =U01 - i2z kw20( 8)( 注: 参看郭硕鸿《 电动力学》 )式中w20= A 是解 f ( z) 时的积分常数; U0是解 U ( Z) 时的积分常数w2( z) = w20[ 1 + (2z kw20)2]( 9)利 用关于复数的对数的知识: ln( a+ jb) = ln( a2+b2)1 2+ itg- 1b a, 并令 a= 1, b= -2z kw20, ( 8) 式可改写 为:U ( z) = U0W0 Weja( 10)式中 A = arctg2z kw20( 11)将( 7) ( 10) 式代入( 5) 式并整理后得:W0= U0W0 W( z)e- r2 w2( z)õe- iW ,( 12)式中 U = KZ+kr22z[ 1+ (kw2 0 2z)2]- A( 13)现在我们来看( 12) 式告诉我们什么?( 1) 因子 U0W0 W( z)e- r2 w2(z )显然它表示光束中 Z 平面上各点场量的振幅, 可看出它随 Z 值而变在某一确定的 Z 平面上, 随该点到光束中心轴的距离 r 的平 方而变, 就是高斯光束特点。
从( 12) 式可看出, 当 r= W( Z) 时, 该点场量的振幅已减小为光束中心( 即 r2= x2+ y2= 0) 处的1 e. 因此, 习惯上用 W ( z ) 表示光束在该剖面的粗细, 叫做光斑尺寸( Spot Size) , 它按( 9) 式随 Z 变化从( 9) 式 可以看出 W ( z) 的最小值是 W0. 通常把光束最细的地方[ 即 W ( z ) = w0处] 叫做光束的腰部( Waist ofthe Beam) , 一般把坐标原点选在该处 ( 2) 因子 U它是光束的相位, 这样光束的等相面方程是U= K Z +k( x2+ y2)2z [ 1 + (kw20 2z)2]- A= 常数 ,( 14)由( 11) 式和( 14) 式可知: 在光束的腰部( Z= 0) 截面 上各点的 U都是零, 也就是说腰部的等相位面是平面在其它地方是曲面, 可以证明: 当ûZûm K W 时( 即远离腰部处) , 等相面是以腰部为球心的球面 在均匀各同性介质中, 光线方向总是与等相面垂直的, 可以证明: 光线是双曲线族这样, 在均匀同性介质中, 高斯光束的传播特点可以用图 1 表示。
图 1 高斯光束的传播图中 H为光束的半张角, 由图可看出tgH=w( z) Z,由( 9) 式可知当 Zm kw2 0时, W( z) ≈2z/ kw0代入上式 得:tgH≈2 kw0 ,即光束腰部尺寸 W0越大则 H越小, 到 w0→∞则 H →0, 这就是无界均匀平面波的情况2 自聚焦光纤的原理将光频电磁波用金属波导传输实际上是不可能的, 因此只能采用高透明度的“ 介质波导” 利用有被 覆的均匀光纤当然可以依靠内全反射的原理将光束由一端传到另一端, 但是也有缺陷这就是由于光进行的线路不同( 由不同的入射角引起的, 如图 2 所19第 3 期 王建华: 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析 示) , 因而形成的相位偏移不同而产生畸变 为了克服 这种缺陷可利用一系列的透镜进行聚焦, 形成透镜波导( Lens ware guide) 图 2 不同光程产生波形畸变采用透镜列的优点是不产生由于光程差别而产生的畸变, 因为沿透镜中心直线而前进的光线穿过透 镜上最厚的部分, 而偏离透镜中心的光线虽然行程较长, 但它却是穿过透镜上最薄的地方, 结果它们的光程( Optical Length) 恰好是一样的。
自聚焦光纤正是 基于这种原理而设计的, 因而也叫类透镜光纤按照几何光学原理, 会聚透镜的聚焦性能可归结为沿穿过透镜上的任意光线的光程¥ nds 是r 的二次函数, 其中 n= n( x , y, z) = n( r, z) 是光线所经各点的 折射系数: OZ 轴为透镜的主光轴, r 是光线上某点到 Z 轴距离以上原理也可从另一角度表述为: 某光线穿过( 薄) 透镜时产生的相移 $5 是透镜上该点到 主光轴的距离 r 的二次函数可以简单证明如下( 见图 3) :图 3 光线通透镜产生相移A B 为一凸透镜, 焦距为 f0, 有一束与主光轴平行的光线投射于透镜上, 则必定会聚于主焦点 F . 根据关于几何光学的马吕—杜宾定理( Malus Dupin Theo-rem) , 穿过透镜上不同点到达 F 点的各条光线的相移相同 具体说: 通过 A 点到达 F 点的光线和通过O点到达 F 点的光线相移相同设空气的相对折射率为 1, 则两条光线的相移分别为:经 A 点到 F 点 $U1=s K2P经 O 点到F 点 $U2=of K2P+ $U1=f K2P+ $W2其中 $U1为光线通过透镜 O 点时产生的相移( 相对于 A 点) , 两式相等得:$U1= ( s - f )2P K=[ ( r2+ f2)1 2- f ]2P K≈k 2fr2 ,( 16)式中 k=2P K, K为空气中( 近似真空中) 的波长。
由以上理论可以设想: 若光纤的折射率不是均匀的, 而是有如下特点:n( r) = n0[ 1-c 2r2] ,( 17)其中 n0为光纤轴线上的折射率, n 为距轴线 r 处的折 射率, c 是表征光纤折射率渐变程度的常数中心折射率最大那么一条光线在这样的光纤中传播 dz 距 离产生的相移将是:$U= k õndz = n0[ 1 -c 2r2] kdz ,显然它是该点到轴的距离的二次函数, 因而这样的光 纤具有与透镜相同的作用, 这就是把它叫做类透镜光纤的原因 下面来分析光线在这种折射率渐变的光纤中传播的行为根据几何光学原理, 一条光线在非均 匀媒质中传播的行为可用如下方程描述:d ds[ ndR ds] = ý n ,( 18)式中 s 为从光线上某点到光线上任意点 P 沿光线测量的距离, R→为 P 点的位置矢量在近轴光线的具体情况下“d ds” 可以近似用d dz代替, 并将( 17) 式代入( 18) 式得:d2rdz2+ cr = 0 ,( 19)式中 r 为光线上一点到 OZ 轴的距离 上式的一般解为:r = a. cosc Z + bsinc Z( 20) 式中 a, b 为积分常数。
为确定 a, b 之值, 令 Z= 0 处 ( 例如在光线进入光纤的一端) , 此光线到光纤中心的距离 r= r0, 其斜率 r[ =dr dzû0] = r′0, 由( 20) 式得:r′ = - ac sinc Z + bc cosc Z ( 21)将边界条件代入可得:a = r0 b =1 cr0′这样( 20) 式和( 21) 式可写做:r( z) = ( cosc Z) r0+1 c( sinc Z) r0′( 22)20桂林电子工业学院学报 1999 年 9 月r′ ( z ) = -c ( sinc Z) r0+ ( cosc Z) r0′( 23) 从上面公式可以看出, 入射于这种光纤一端“ 子午光”( meridional ray 即入射面包括光纤轴线在内的入射光线) 在光纤中的“ 轨迹” 是正弦曲线, 如图 4 所示图 4 入射自聚光纤中的子午光线的“ 轨迹”由( 22) 式可以求出其空间周期 L 为L = 2P1 c.( 24)顺便指出: 若( 17) 式中的常数为负时, 即中心折射率小, 则这种光纤不再聚焦而是发散的了实际上光在光纤中这种会聚或发散效应在均匀介质中也会产生。
例如光强分布有高斯光束特点的激光在光纤中传播时, 由于介质的吸收作用( 尽管这种吸收是很轻微的) , 介质温度 T 要。