第八章 椭圆、双曲线与抛物线考点综述椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一种重要内容，它的基本特点是数形兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容．纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考察，重要体现出如下几种特点：1．基本问题，重要考察如下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、原则方程及a、b、c、e、p五个参数的求解，②几何性质的应用；2、求动点轨迹方程或轨迹图形（高频），此类问题的解决需掌握四种基本措施：直译法、定义法、有关点法、参数法．3．有关直线与它们的位置关系问题（高频），此类问题常波及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析此类问题时，往往要运用数形结合思想和“设而不求”的措施、对称的措施及韦达定理，多以解答题的形式浮现．4．求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范畴问题（高频），此类问题综合性较大，运算技巧规定较高；特别是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别值得注意的是近年浮现的解析几何与平面向量结合的问题（高频）． 其实，高考数学只有 35 个核心考点仅有 122 种典型考法每种考法只需 1 道例题和 3 道练习题每次 1 小时，学会必杀技保证高考 120分！如有疑难，还可以看视频解说！更多参照：考点1 椭 圆典型考法1 椭圆的最值问题典型例题已知椭圆，常数、，且．(1)当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；(2)过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表达四边形的面积，并求的最大值． 解析(1) 的左焦点为，设满足题意的点为．又，∴，即由点在椭圆上，得，得，． (2)过原点且斜率分别为和的直线，有关轴和轴对称，四边形ABCD是矩形．设点A．联立方程组得，于是是此方程的解，故 ，即．设，则在上是单调函数．理由：对任意两个实数，且，＝． ，即．∴在上是单调函数，于是，，当且仅当等号成立．． 注：也可运用求导法证明在上是单调函数．必杀技： 运用求函数最值的措施+椭圆性质 解决与椭圆有关的最值问题须注意：1．最值问题的题型大体有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值．2．最值问题的求解方略：(1)总方针：建立目的函数（或目的不等式）(2)具体措施：①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题②运用三角换元，转化为三角函数的最值问题③结合椭圆的定义，运用图形的几何特性求最值④运用基本不等式求最值还须值得注意的是，有些求最值的问题也许要先求目的函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种措施的综合运用．如下给出椭圆最值问题的几种性质，便于迅速地求解决有关问题．读者自行完毕上述性质的证明．这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭圆都成立，可用于求解某些选择题和填空题．实战演习1．是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点，则的最小值为 ． 2．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于、两点，若，．（1）已知，求的值； （2）求四边形面积的最大值；3．若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比．(1)求通过点，且与椭圆相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A段OB上），求的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的措施提出类似的一种真命题，并予以证明．参照答案：1．. 2．（1）或 .（2）. 提示：设点到的距离分别为，，故的面积为 ，易得当时，取最大值．注：通过对（2）的求解，我们进一步探究还可以得到有关椭圆所相应的四边形面积的若干结论．结论一：已知是椭圆的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于、两点，则四边形面积的最大值为．结论二：以椭圆的一条定弦为对角线的椭圆内接四边形面积取最大值时，另一条对角线必过原点与的中点 ．推论1：若觉得斜率的直线与椭圆相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率满足： ．推论2：觉得斜率的椭圆两切线间的距离为（如图8-1-8）．推论3：若是椭圆但是原点且不垂直于对称轴的弦上一点，则点是弦中点的充要条件是 ．结论三：椭圆内接四边形面积的最大值为 ．结论四：是椭圆的过原点的一条定弦，是椭圆的过弦上定点的动弦，则当弦被点平分时，椭圆内接四边形面积取最大值的充要条件是： ．3．(1) (2)①当射线与轴重叠时，=． ②当射线不与坐标轴重叠时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．设其方程为（），设，，由 解得，同理可得，令 则由 知，于是在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最小值为． (3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个．命题：过原点的一条射线分别与双曲线：和： 交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为．证明：∵射线与双曲线有交点，不妨设其斜率为，显然．设射线的方程为，设点、、由得，由 得，由P点在射线上，且 得 即得．命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线：和： 相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为． （证略）．典型考法2 与椭圆有关的定点与定值问题典型例题已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上与否存在异于点的定点，使得觉得直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请阐明理由．解析（1），，椭圆方程为．（2），设，则．直线：，即， 代入椭圆得．，．， （定值）．（3）设存在满足条件，则．，， 则由得 ，从而得．存在满足条件．必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则一般地，解决动曲线（涉及动直线）过定点的问题，其解题环节可归纳为：一选、二求、三定点．具体操作程序为：“一选”：选择参变量．需要证明过定点的动曲线往往随某一种量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线波及的量较多时，也可选用多种参变量）．“二求”：求出动曲线的方程．求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最后使动曲线方程的系数中只具有一种参变量．“三定点”：求出定点的坐标．不妨设动曲线方程中所含的参变量为，把曲线方程写成形如的形式，然后解有关，的方程组得到定点的坐标． 实战演习1．已知椭圆C通过点，两个焦点为，．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2．设椭圆：（）过点，且左焦点为(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 3．若椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点（2，0）到左焦点距离为．(1)求椭圆的原则方程．(2)若直线：与椭圆相交于，两点（不是左、右顶点），且觉得直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．(3)将(2)推广到一般情形，使得(2)为其特例，并给出解答过程．参照答案：1．(1) . (2)设直线：，代入得，设，，易得(定值)． 注：本题可推广为（证明略）：2．(1) . (2)提示：运用线段的定比分点，关注．注：（一）本题的证明尚有其他措施，这里从略．（二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为：命题一：设椭圆，过椭圆外一点的动直线与椭圆相交于两不同点，段上取点，满足，则点在定直线上．我们可将命题一推广到其他的圆锥曲线，具体为：命题二：设圆，过圆外一点的动直线与圆相交于两不同点，段上取点，满足，则点在定直线上．命题三：设双曲线，过双曲线外一点的动直线与双曲线相交于两不同点，段上取点，满足，则点在定直线上．命题四：设抛物线，过抛物线外一点的动直线与抛物线相交于两不同点，段上取点，满足，则点在定直线上．以上命题的证明从略．3．（1）.（2）直线过定点，定点坐标为.（3） （2）的推广（一）：过椭圆上的右顶点作两直线与交椭圆于、两点，当时，直线恒过定点．提示：可设直线：且、，由得，则，由已知得，即 直线：恒过定点．（2）的推广（二）：过椭圆上的任意定点作两直线与交椭圆于、两点，当时，直线恒过定点．典型考法3 椭圆与直线 图8-1-1典型例题已知椭圆通过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，长轴的长与焦距之比为2：1．(如图8-1-1) (1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上与否存在有关直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，阐明理由．解析 (1)设椭圆E的方程为，由已知得，，故，从而椭圆方程为，将A（2，3）代入上式，得，解得，∴椭圆E的方程为．(2)措施一：措施二：措施三：措施四：措施五：措施六：措施七：措施八：(3)措施一：措施二：措施三： 同上，一方面，由于的中点坐标为，且该中点在椭圆的内部，因此，有，解得 （※） ．另一方面，的中点在直线上，因此，解得，这与（※）矛盾．因此不存在满足题设条件的相异两点．注：存在性问题的一般经解决思路是先假设满足条件的数学对象存在，然后通过数学“操作”肯定或否认假设．必杀技： 综合运用基本知识与基本措施 本题重要考察椭圆的定义及原则方程，椭圆的简朴几何性质，直线的方程以及点有关直线的对称等基本知识；并以对这些基本知识的考察为依托，考察了考生对解析几何的基本思想的理解与掌握状况及综合运算能力、探究意识与创新意识．本题的摸索思路宽，且解法多种多样， 本题可推广为：对于本题的(3)还可推广为：注：以上的证明均可仿照本题的求解措施，读者可自行完毕，这里不再赘述．实战演习1．已知椭圆，直线：．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并阐明轨迹是什么曲线．2．已知若过定点、以()为法向量的直线与过点觉得法向量的直线相交于动点．(1)求直线和的方程；(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与与否平行，并阐明理由．图8-1-23．已知椭圆C： ()的一种焦点到长轴的两个端点的距离分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范畴．(3)如图8-1-2，过原点O任意作两条互相。