第十章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数 - 1 -10.1.1 两角和与差的余弦 - 1 -10.1.2 两角和与差的正弦 - 9 -10.1.3 两角和与差的正切 - 17 -10.2 二倍角的三角函数 - 25 -10.3 几个三角恒等式 - 32 -10.1 两角和与差的三角函数10.1.1 两角和与差的余弦学 习 任 务核 心 素 养1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点) 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)1．通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养．我们已经知道了30，45的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos 15的值呢？一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos(α－β)的值？知识点 两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90－30)＝cos 90－cos 30成立吗？[提示] 不成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“”)(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． ( )(2)cos 105＝cos 45 cos 60－sin 45sin 60． ( )(3)cos 30cos 120＋sin 30sin 120＝0． ( )(4)coscos＋sinsin＝cos 2α． ( )[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)√2．cos 75＝________；cos 15＝________． [cos 75＝cos(30＋45)＝cos 30cos 45－sin 30sin 45＝；cos 15＝cos(45－30)＝cos 45cos 30＋sin 30sin 45＝．]重点题型 类型1 两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】 求下列各式的值：(1)cos 40cos 70＋cos 20cos 50；(2)；(3)cos 15＋sin 15．[解] (1)原式＝cos 40cos 70＋sin 70sin 40＝cos(70－40)＝cos 30＝．(2)原式＝＝＝cos 15＝cos(60－45)＝cos 60cos 45＋sin 60sin 45＝．(3)∵cos 60＝，sin 60＝，∴cos 15＋sin 15＝cos 60cos 15＋sin 60sin 15＝cos(60－15)＝cos 45＝．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．[跟进训练]1．求下列各式的值．(1)cos 75cos 15－sin 75sin 195；(2)cos 24cos 36－sin 24cos 54；(3)．[解] (1)cos 75cos 15－sin 75sin 195＝cos 75cos 15＋sin 75sin 15＝cos(75－15)＝cos 60＝．(2)原式＝cos 24cos 36－sin 24sin 36＝cos(24＋36)＝cos 60＝．(3)原式＝＝＝＝＝． 类型2 已知三角函数值求角【例2】 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝．由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.[跟进训练]2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．[解] 由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝．由0<β<α<，得0<α－β<．又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝．由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝，∴β＝． 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P51例3)已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－＝－．又∵sin β＝，<β<π，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<2π，0<β<，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝，0<β<，∴cos β＝＝．又sin α＝－，且π<α<2π，①当π<α<时，cos α＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝－；②当<α<2π时，cos α＝＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝．综上所述，cos(α－β)＝－或．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－，π<α<，cos(α－β)＝，<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－，且π<α<，∴cos α＝－＝－．又∵<β<π，∴－π<－β<－，∴0<α－β<π．又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝－，∴sin β＝＝．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．[跟进训练]3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝．∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝．又sin α
