离散数学函数性质教案模板第6章 函数一、选择题（每题3分）1、设A={a,b,c},B={1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（ C ）A、f1={,,}B、f2={,,}C、f4={,,}D、f1={,,,}2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ）A、{<_,y>|(_,yN)(_+y<10)}B、{<_,y>|(_,yR)(y=_2)}C、{<_,y>|(_,yR)(y2=_)}D、{<_,y>|(_,yZ)(_ymod3)}3、设Z为整数集，则二元关系f={aZbZb=2a+3} （ B ）A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射4、设f为自然数集N上的函数，且f(_)=10若_为奇数若_为偶数 ，则f（ D ）A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射5、设f为整数集Z上的函数，且f(_)为_除以5的余数 ，则f （ D ）A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ）A、f:RR,C、f:RZ,A、f:RR,C、f:RR,f(_)=_+6B、f:RR,f(_)=[_]D、f:RR,2f(_)=(_+6) f(_)=_+6_ 627、设R、R、Z+分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ） f(_)=-_+7_-1 B、f:Z+R,f(_)=ln_； f(_)=_D、f:RR,f(_)=7_+18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ）A、f : ZE , f(_)=2_B、f : ZE , f(_)=8_C、f: ZZ,f(_)=8D、f : NNN,f(n)=9、设_=3,Y=4，则从_到Y可以生成不同的单射个数为（ B ）．A、12B、24C、64D、8110、设_=3,Y=2，则从_到Y可以生成不同的满射个数为（ B ）．A、6B、8C、9D、6411、设函数f:BC，g:AB都是单射，则fog:AC（ A ）A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射12、设函数f:BC，g:AB都是满射，则fog:AC（ B ）A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射13、设函数f:BC，g:AB都是双射，则fog:AC（ C ）A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射14、设函数f:BC，g:AB，若fog:AC是单射，则（ B ）A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射15、设函数f:BC，g:AB，若fog:AC是满射，则（ C ）A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射16、设函数f:BC，g:AB，若fog:AC是双射，则（ D ）A、f,g都是单射 B、f,g都是满射 C、f是单射, g是满射 D、f是满射, g是单射二、填充题（每题4分）1、设_=m,Y=n，则从_到Y有2mn 种不同的关系，有nm 种不同的函数．2、设_=m,Y=n，且mn，则从_到Y有Anm 种不同的单射．3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．1，若_为奇数4、设f为自然数集N上的函数，且f(_)=_若_为偶数2，n种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n! 种,则f(0)=0，f[{0}]={0} ，f[{1,2,3}]={1}，f[{0,2,4,6,L}]=N．5、设f,g是自然数集N上的函数,"_N,f(_)=_+1,则fog(_)=2_+1，gof(_)=2(_+1)．g(_)=2_，三、问答计算题（每题10分）1、设A={2，3，4}，B={2，4，7，10,12}，从A到B的关系R={aA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此关系R及其逆关系R-1是否为函数？为什么？解：R={<2,2>,<2,4>,<2,10>,<2,12>,<3,12>,<4,4>,<4,12>}，则R的关系图为：R的关系矩阵为MR1=0010100010011 1关系R不是A到B的函数，因为元素2，4的象不唯一逆关系R-1也不是B到A的函数 因为元素7的象不存在．2、设Z为整数集，函数f：ZZZ，且f(_,y)=_+y，问f是单射还是满射？ 为什么？并求f(_,_),f(_,-_)．解："_Z, $<0,_>ZZ，总有f(0,_)=_，则f是满射；对于<1,2>,<2,1>ZZ,，有f(1,2)=3=f(2,1)，而<1,2><2,1>，则f非单射；f(_,_)=2_,f(_,-_)=0．3、设A={1,2}，A上所有函数的集合记为AA, “o”是函数的复合运算，试给出AA上运算“o”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为A=2，所以A上共有22=4个不同函数，令Af1(1)=1,f(2)=2;A={f1,f2,f3,f4}，其中：f(1)=1,f(2)=1;f(1)=2,f(2)=2;f(1)=2,f4(2)=1Af1为A中的幺元，f1和f4有逆元．4、设R为实数集，函数f：RRRR，且f(<_,y>)=<_+y,_-y>， 问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f-1(<_,y>)及fof(<_,y>)．解： "<_1,y1>,<_2,y2>RR，若f(<_1,y1>)=f(<_2,y2>)， 有<_1+y1,_1-y1>=<_2+y2,_2-y2>，则<_1,y1>=<_2,y2>，故f是单射；22且f(<_,y>)=<_+y,_-y>=，则f是满射，故为双射； _+y_-y,> ； 22fof(<_,y>)=f(<_+y,_-y>)=f(<2_,2y>)． f-1"RR，令_=u+v，y=u-v，则<_,y>RR，(<_,y>)=<四、证明题（每题10分）1、设函数f：AB，g：BC，g和f的复合函数gof：AC， 试证明：如果gof是双射，那么f是单射，g是满射． 证明："_1,_2A且f(_1)=f(_2)B，则gof(_1)=g[f(_1)]=g[f(_2)]=gof(_2)，因gof是单射，有_1=_2，故f是单射；"cC，因gof是满射，$aA，使c=gofa()=g[fa()]，而f(a)B，故g是满射．注：如果gof是单射，那么f是单射；如果gof是满射，那么g是满射．2、设f是A上的满射，且fof=f，证明：f=IA．证明：因f是满射，则对"aA，存在a1A，使得f(a1)=a， 则fof(a1)=f[f(a1)]=f(a)，由 fof=f，知a1=a， 于是f(a)=a，由a的任意性知f=IA．3、设函数f：AB，g：BA，证明：若f证明： 因f-1-1=g,f=g-1，则gof=IA,fog=IB．=g,则"yB,g(y)=f-1(y)=_A，有g(y)=_,f(_)=y，于是，对"yB，有fog(y)=f[g(y)]=f(_)=y=IB(y)，知fog=IB；-1又f=g-1，则对"_A,f(_)=g(_)=y，有f(_)=y,g(y)=_，于是，对"_A，有gof(_)=g[f(_)]=g(y)=_=IA(_)，知gof=IA．4、设函数f：AB，g：BA，证明：若gof=IA,fog=IB，则f-1=g,f=g-1．证明：因恒等函数IA是双射，则gof是A上的双射，有f是单射，g是满射； 同样，恒等函数IB是双射，则gof是B上的双射，有f是满射，g是单射； 所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：AB，g：BA，证明： f-1-1=g,f=g-1-1．=g,f=g gof=IA,fog=IB．5、设函数f：AB，g：Br(A)，对于bB，g(b)={__Af(_)=b}，r(A)为A的幂集，证明：如果f是A到B的满射，则g是B到r(A)的单射．证明："_1_2B,因f是满射，$y1,y2A,使f(y1)=_1_2=f(y2),则y1y2； 又由g的定义知，y1g(_1),y2g(_2)，故有g(_1)g(_2)，则g是B到r(A)的单射．让教师左手翻试卷，右手敲键盘登分成为可能E_cel登分王 mye_cel第二十五教时教材： 对数函数性质的应用目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。
过程：一、复习：对数函数的定义、图象、性质二、例一 求下列反函数的定义域、值域： 1．y=2-_2解：要使函数有意义，必须： -_2-_>0 ①loga(-_2-_)0 ②由①：-1<_<0由②：当a>1时 必须 -_2-_1 _f当0log0.40.4=1∴log0.30.70_2-4_-5<0-1<_<5由-1<_<5∴在此区间内 (-_2+4_+5)ma_=9∴ 0-_2+4_+59从而 log1(-_2+4_+5)log19=-2 即：值域为y-2331 解： ∵013．log0.30.1和log0.20.1解： log0.30.1=4．y=loga(-_2-_)1log0.10.3>0 log0.20.1=1log0.10.2>0免按学号顺序登分，免登分前整理试卷成为可能E_cel登分王让教师左手翻试卷，右手敲键盘登分成为可能E_cel登分王 mye_cel ∵log。