7 1 6·计算机技术与应用进展·2 0 0 6圆度误差测量的数学模型及算法李颖河北科技大学网络技术学院河北石家庄0 5 0 0 5 4摘要：根据圆度误差的评定方法，最小区域法不仅可以获得最小的误差评定结果，而且具有唯一性，对零件的性质有稳定的约束使用该方法建立了数学模型，并设计了计算机优化选代算法关■翻：圆度误差数学模型算法1 概述最小条件法是形位误差评定的基本原则，目前经常采用的方法有最小二乘法、最小外接圆法、最大内切圆法和最小区域法最小二乘法具有统计意义，虽然不能消除最大误差带来的影响，但在实际采样点数有限的情况下仍然不失为一种安全性较好的方法最小外接圆法和最大内切圆法对圆形或者圆柱形零件而言能逼近地描述配合件中的定位性质，具有一定的实际应用价值最小区域法是一种优良的评定方法，它不仅可以获得最小的误差评定结果，而且可以通过包容边界对零件的性质有稳定的约束，因而是现代测量技术致力研究的评定方法本系统对圆度误差的计算作了深入分析，建立其数学模型，并设计了计算机优化迭代算法2 圆度误差评定的最小条件法在评定形位误差时，理想要素的方位按最小条件来确定最小条件是指被测实际要素对其理想要素的最大偏离量为最小时的状态。
对于轮廓要素，其理想要素应在被测要素的实体之外与其接触；对于中心要素，其理想要素将穿过被测实际要素当理想要素的位置根据最小条件确定后，被测实际要素的形位误差也就随之确定下来，显然该误差值为最小用具有与公差带形状相一致的包容区域，紧紧地包容实际要素，达到最小的宽度或直径，此包容区域成为最小包容区域，简称最小区域最小区域的宽度或直径是符合最小条件的形位误差值，因此，最小包容区域是按最小条件表示形位误差的一种有效方法评定圆度误差有最小区域法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内切圆法2 ．1 最小区域法该方法使用两同心圆包容实际轮廓，包容时，至少应有内外交替四点接触，这样，两同心圆半径差最小该差值即为此轮廓的圆度误差 】) 最小区域法求圆度误差常采用内．外圆逐步逼近的几何方法图1 为外圆逼近的图解过程 2 ) 在轮廓误差曲线中任意取一点o ，以为圆心，并至少过曲线上一点( 图1 中过A 点) 作圆，将误差曲线全部包容在该圆内，如图1 中的圆I ( 3 ) 由圆心0 与点A 连一直线，并在该直线上找一点0 ，，以0 ，为圆心，作相切于点A 及过误差曲线上另一点B 的圆I I ，该圆仍然能将误差曲线全部包容。
圆度误差测量的数学模型及算法7 1 ' 7( 4 ) 连接A 、B 两点作直线，由该直线将误差曲线图像分成A C B 和A D B 两个部分找出两部分曲线 上至圆Ⅱ的距离为最大的点，如图1 中的c 和D 5 ) 作A B 的垂直平分线，在该线上寻找点O ，当以O 为圆心，O A 为半径作一圆时应使点C 和D 至 该圆的最大距离相等此圆心O 即为所求的最小区域的圆心过点O 作两同心圆可包容全部误差曲线，且 其半径差为最小，此半径差即为该轮廓的圆度误差囝1 外啁逼近确定圃度误差最小区域 2 ．2 最小二乘圆法I I当轮廓曲线上的各点至某一圆的距离平方和为最小时，该圆即为最小二乘圆设曲线上某点至该圆心的最大距离为A R 另一点至圆心的最小距离为△R “则圆度误差为A R 与△R 一之差 根据钡i 得的误差曲线，先等分圆周角，各径向线与误差曲线的交点为P ；，选择两相互垂直的径向线，构成直角坐标系，坐标原点为O ’误差曲线上的点可用直角坐标P x i ，Y ；) 或者极坐标P ；( r 0 ；) 表示设最小二乘法圆中心为O ，其坐标为( a ，b ) ，半径为R 由几何关系和公式推导可得‘= e c o s ( O f - - ( I ) + 4 A ‘2 ( e s i n ( O f —n ) ) 2式中，厂j ——被测实际轮廓上各点至坐标原点o ’的距离 e ——O ’0 的距离 n ——O ’0 与X 轴夹角An ——o 至误差曲线上点P 。
的距离由于圆度误差精度测量的特点，要求满足“小偏差假设”，并且零件的圆度误差和其半径相比是微量，称为“小误差情况”，于是近似认为‘= e c o s ( O i 一口) - I - △‘，因此根据最小二乘法原理有：．E 2 = ∑( △I - R ) 2 = ∑( ‘- e c o s ( O , - a ) 一R ) 2 = m i n在上式中分别对R 、e 、a 求俯导数，可得方程组厂∑t —n R —e ∑c o s ( O f 一口) = 0 f ‘ < ∑r l c o s ( O , - a ) - R ∑c o s ( O , 一鳓- 8 ∑c o s 2 ( O i —a , ) - - - of：：．’ L ∑r l s i n ( O l - a ) - R ∑s i n ( O i 一叻·e ∑c o s ( O , - a ) s i n ( O i - a ) - - Oiii联立求解可得：7 1 8计算机技术与应用进展2 0 0 6ra = 云∑C O S 只i _ l ，2 ' 2 ⋯，n1 { b 2 云∑‘s i 呜i _ l ～2 ⋯，nlR = = 1 ∑‘i = l ，2 ，⋯，n式中，‘——被测实际轮廓上各点至坐标原点07 的距离n ——等分点数被测实际轮廓上各点至最小二乘圆圆心的距离为6 ‘= ‘一( a c o s 目／+ b s i n 只)根据定义，／曩4 , - - 乘法的圆度误差为f _ - △R ．。
一△R 2 ．3 最小外接圆法最小外接圆是指包容实际轮廓时，具有半径为最小的圆该方法主要用来评定外表面的圆度误差其圆度误差值为最小外接圆半径R 与实际轮廓上各点至最小外接圆中心的最小半径R “判别最小外接圆的准则有两个：一是外接圆与误差曲线有三点接触，且由此三点连成的三角形为锐角三角形，或圆心位于三角形内二是外接圆与误差曲线上两点接触，且两点连线通过捌心2 ．4 最大内切圆法最大内切圆是指内切于被测实际轮廓，或者内切于轮廓益线误差，且半径为最大的圆该方法主要用 来评定内表面的圆度误差其圆度误差值为实际轮廓上各点至最大内切圆中心的最大半径R ～与最大内切圆半径R 之差判别最大内切圆的准则仍然可以用三点法或两点法但实际上，对某一轮廓来说有时符合三点或者两点接触形式的内切圆并不唯一，这样就使确定最大内切圆增加了麻烦，必须对误差曲线作出全面分析，找出形成三点或者两点接触的各种形式，对它们进行比较后，才能得出最大内切圆，应用中极为不便评定圆度误差时，采用的理想圆不同，对同一轮廓将会评定出不同结果统计结果表明，采用最小■乘圆法或者最小外接圆法评定的圆度误差一般要比按最小区域法的评定结果增大1 0 ％左右。
因此，最小区域法是最为有效的圆度误差评定办法3 圆度误差的最小区域法计算机优化迭代算法3 ．1 优化数学模型根据最小区域法条件，可以将圆度误差的计算归结为以下数学模型进行求解已知n 个测点：P ，( x { ，Y ，) ( i _ 1 ，2 ，⋯，n ) ，设圆方程为：( x ．A ) 2 + ( Y - B ) 2 - - R2 ，改写为：( x ．A ，) 2 + ( Y - A ．) 2 = R2则数学模型为：设计变量：A ．、A ，目标函数：f A l ，A2 ) = d d i m m ( i ．1 ，2 ，⋯，1 3 ) ，其中d ( ( X i - A 1 ) 2 + ( Y ．A2 ) 2 ) ”为测点到理想圆心距离3 ．2 解题方案由数学模型可知，目标函数为隐函数，甚至有可能不连续，所以不能采用求导数的方法求解7 1 9根据目标函数的要求，只有使d i 尽可能最小，d f 埘n 尽司能最大，才能得刘鼓，J 、削l 测厦瞬在I 且⋯图2 ，显然使圆心向最大距离点矢量方向移动可减小d f 而向最小距离点矢量的反方向移动可增大d Ⅲn 苍焉要燃罨茎篱墨品篙蓬鬈麓』姜妻淼，为较快获得误差结果，要求测点沿圆周( 1 ) 初始值的确定：设计变量初始值的选择直接影响收敛速度，为较快获得误爱绍果，墨承铡恩l 借四同均布，采用最小二乘圆的圆心作为初始值：田2 测量曲线示意围M o - 三。
v x ，㈦’2 ’⋯一A ：《∑I ；乩：，⋯，n( 2 ) 求出各测点P i ( x i ，Y f ) 到圆心距离，找出d i 3 ) 使圆心向减小d f 的方向移动，若向d i 方向移动△d i 则其他各点到新圆心的距离变化近似为：A d f4 c o s d f - d i m “式中，c o s a i 为各点距离矢量石与j = 的夹角余弦，其值为：c o s 咿为南当C O S { Z 为正值时，d ，随d t ，的减小而减小：当C O S ( t i 为负时，d i 随d 的减小而增大为使移动 后酉，的值等于磊= ，的值，必须使圆心向最大距离点矢量方向移动A d ，其值可以按下式近似计算：蜘舻惫意m ’，( i 叫_ ⋯，n 一矧m 戢，c o s ％< 0 )( 4 ) 选出△d ，中的最小值作为最佳移动量△M ，计算新圆心坐标值：AJ 1 = ^ 1 0 + △Mc o s n I m “A ；= A ! + A Mc o s [ B i 式中，c o s q ；一、C O s p ；为初始圆心到最大距离点矢量d ，的方向余弦 ( 5 ) 重新计算各点至新圆心的距离d 』，找出d i I I I i 。
6 ) 使圆心向虿：= _ 的反方向移动，以增大d ，移动量同样可以写成：△d ，，“ i d ：i r a j i 磊n - - d i ，( i = 1 ，2 ，⋯，n ，F # i m i n , c o s ％< 0 )7 2 0计算机技术与应用进展’2 0 0 6 ●I ■—————●■■■—■■—■■——■—■————■——■—■●———■■■■■●■■—■—●—■—■■■■—■——■■■—■■■■—■■■■——_式中，c o s n i 为d f 与d f 的夹角余弦，其值为：c o s 口：；! ! 墅垒 1 I d | d l( 7 ) 由于d f m - d i < 0 ，所以A d f l 血n < 0 ，表示向d f 的反向移动选出A d f “中绝对值的最小值作为最佳移动量△M ，计算新圆心坐标值：A i = A ：+ A M c o s a i A ；= A i + △Mc o s D j 式中，C O S U f d c o s p f I n i n 为初始圆心到最小距离点矢量或m j D 的方向余弦 8 ) 判断两最大距离两点的连线与最小距离两点的连线是否相交段内，若不段内，重复( 2 ) 一( 7 )各步骤，再进行判断；若交点段之内，则分别求两线段垂直平分线的交点，则该交点即为A ．、A ，的最优解，也就是理想圆心坐标。
9 ) 计算最远点到理想圆最终圆心的距离d i 和最近点到理想圆最终圆心的距离d j Ⅱ所求圆度误差为：＆f m ( A I ，A2 脚f Ⅻ一d ㈣以上圆度误差求解的迭代方法采用最小二乘圆的圆心作为初始值，把代数算法和几何求解相结合，减 少了迭代次数，提高了求解效率，既避免了代数解法迭代次数过多、求解缓慢的问题．又解决了单一几何 解法在计算机上难以实现的困难，有着广泛的应用前景参考文献【l 】邹艳华，冯龙，陈燕．圆度误差测量数据处理的数学模型【J 】．鞍山钢铁学院学报，1 9 9 7 ，2 0 ( 4 ) ：1 9 ，2 1[ 2 】谷春栋．圆度误差测量的数学模型[ J 】．鞍山钢铁学院学报，2 0 0 0 ，2 3 ( 5 ) ：3 7 9 ．3 8 1【3 】。