单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,多元函数微分学,6-1,多元函数,1.,多元函数的概念,引例,:,一,定质量的理想气体的压强,p,是其体积,V,及温度,T,的,函数,:,在这里,c,是三个自变量的函数，而,p,是两个自变量的函数,.,多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组，,如上面的,(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量,形成的数组，如上面的,(a,b,),看作是空间上的一个点,.,当,一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化,时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合,.,在这种,看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到,实 数域,R,的一个映射（如图）,.,同样地，一个三元函数实,质上就是三维空间中某个点集合到实数 域,R,的一个映射,.,相等同,相等同,相等同,设有一个集合,如果对于中每一点,按照一定的规则,都有一个唯一确定的实数 与之相对应，则称是一个定义在上的,n,元,函数,定义,记作,点集,D,称为函数,f,的,定义域,;,全体函数值的集合：,称为函数,f,的,值域,.,自变量,，,而把,u,称作,因变量,.,特别地,当,n,=2,时,有二元函数,当,n,=3,时,有三元函数,例,1,二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面,.,多元函数的定义域及图形,.,函数,z,ln(,x,y,),的定义域为,(,x,y,)|,x,y,0,函数,z,arcsin(,x,2,y,2,),的定义域为,(,x,y,)|,x,2,y,2,1,例,2,补例,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面,.,单位闭球,说明,:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,的图形一般为空间曲面,.,2.,中的集合到 的映射,一般化就是,例,3,平面曲线的参数方程,但是,与函数,不同，对于每一个,而应是,例,4,平面上的坐标变换,第,j,个分量,.,中的点到 的,距离,定义为,它满足下列条件：,当且仅当时等号成立；,在数轴 上,在平面 中,在空间 中,三角不等式,注,3.,中距离、邻域及开集,回忆一维空间中点的邻域概念,利用,“,点,”,将邻域概念推广到高维空间,(,),.,定义,开圆盘,设 为给定的一点,是给定,的正数,定义 点的,邻域,是集合,x,y,.,o,开球体,O,x,y,z,.,下面我们来定义开集及区域的概念,边界点,内点,外点,设 是一个给定的集合，点：,(1),若存在一个正数使得则称是的,内点,(2),若存在一个正数使得,则称 是 的,外点,(3),既不是内点又不是外点的点,称为的,边界点,点 是的,边界点,对于任意的正数,点,的邻域中既有中的点又有非中的点,边界点不一定属于集合！,用 表示集合,E,的全体边界点的集合,.,例,5,设集合,R,是平面 中的一个矩形的内部：,例,5,设集合,R,是平面 中的一个矩形的内部：,其中,a0,b0,是常数，则原点（,0,0),是,R,的一个内点，点,（,a,b),是边界点，,点（,2a,2b),是一外点,.,更一般地说,集合,R,内的每一点都是其内点,而它四条边上的每一点都是边,界点，而矩形之外,(,不含边,),任意一点都是外点,.,例,6,设 是带边的矩形,其中,a0,b0,是常数,.,显然，在 中 与例,5,中,R,有相同的内点、外点及边界,点,.,区别于,R,的地方是 包含全部边界点,.,根据定义很容易看出，一个集合,E,的全部内点都包含,于,E,的内部，而,E,的全部外点都不含于,E,之中,.,对于,E,的,一个边界点则有两种可能，或者包含于,E,，或者不包含,于,E.,补例,设平面点集,开集：,闭集：,集合 的每一点都是内点,是开集,集合包含着它的全部边界点,中没有边界点,显然，平面上不带边的任意矩形内部，不带边的任意,一个圆内部都是 中的开集,.,例,6,中的 就是,一个闭集,.,在 中这样的集合则既非开集，也非闭集,.,连通集,：,如果点集,E,内任何两点，都可用折线连接,起来，且该折线上的点都属于,E,则称,E,为,连通集,.,区域（或开区域）：,连通的开集称为,区域或开区域,.,开区域,又例如，,在 上,例,5,设集合,R,是平面 中的一个矩形的内部：,例,5,设集合,R,是平面 中的一个矩形的内部：,闭区域,:,设是一个区域，表示的全部边界点组成的集合,则 是一个闭集,记为,并称之为,闭区域,.,例,6,设 是带边的矩形,集合,R=,但非区域,.,是开集，,是否是区域？,o,闭区域,又例如，,在 上,对于集合,如果存在一个正数,使得包含于以原点为心，以为半径的球内,则称为,有界集合,；如果不存在这样的正数，则称为,无界集合,及相应的闭区域,都是无界的,.,点的邻域,例平面点集,连通的,小结,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,z,=,ax,+,by,+,c,二元函数的图形,点集,(,x,y,z,)|,z,=,f,(,x,y,),(,x,y,),D,称为二元函数,z,f,(,x,y,),的图形,.,二元函数的图形是一张曲面,.,z,=,ax,+,by,+,c,表示一张平面,.,例,方程,x,2,+,y,2,+,z,2,a,2,确定两个二元函数,分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为,D,=,(,x,y,)|,x,2,+,y,2,a,2,.,有界集,y,x,O,E,r,E,O,中的有界集,2,R,有界闭区域；,无界开区域,E,无界集,习题,6-1 1.(1)(3)(5)2.4.,。