换天法在中学数学解题中的应用及推广集团文件版本号：(M928-T898・M248-WU2669-I2896・DQ586-M1988)参考文献 17致谢 18换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州350108）1.引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展.本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中 的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生 活中的推广.一、 换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活 所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识 与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有 需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如：待定系数法， 数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都 是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够 化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、 换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是 针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统 教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学 不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下 突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致 用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生 活和解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求•换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够 意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培 养起着指导引领的作用.三、换元法研究的方法文献研究法：査找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析 比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2.换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治•波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.着名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他 曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学 者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚 关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于 广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，口本着名数学家米山国藏的《数学的精神、思想与方法》. 以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元” 的数学思考.1975年，希拉里•普特南(H. Hilary Putnam, 1926"),美国逻辑学 家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国 数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为”数学 奥林匹克”的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着 许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地 发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启 示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学 与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专着，发表了30余篇论文.被评为 福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校. 联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一 系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张 矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行 了较为系统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研 究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数 学教育紧密结合在一起的论着.有关换元法解题的专题文章（如用换元法证明不等式，求函数的值 域，因式分解等等）也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高 中数学教与学"等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越 多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外的材料.3.换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象 （如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等）的文字符号都可以称为 “元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题 的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或儿个“新元”代 换问题中原来的“元”，使得以“新元‘为基础的问题的求解比原来的 问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便 可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素 法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为 易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换 元的实质就是转化与化归.在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的 时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的 “元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于 “元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复 杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常 在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到 的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空 产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主 要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4.换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程:v2x — 1 = y则原方程转化为：|y + 1| + |y — 1| = 2需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：-1式y三1, 乂 I，y = V2x — 1 > 0..・. 0 < V2x- 1 < 1,解得这个不等式的解为：i 1时，新元方程可以化为y=4,即y = 4；当TV VI时，新元方程化为y + 1 - y + 1 = 2V2,明显无解综上所述，转换后的新元方程的解为y = -4或y=4.又,: y = V2x — 1 > 0.・•・y = 4即原方程的解为：x = 8.5这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转 化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程:cosx + cos22x + cos~3x = 1分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但 是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解：将cos2x看成“元”,用“新元” y代替，则cos2x = y则有：cos~x + cos23x=7(1 + cos2x + 1 — cos6x)=1 + 7(cos2x + (4cos52x — 3cos2x)] =1 + y(2y2 - 1) =2y3 -y+ 1故，原有的方程转化为：y2+l + y（2y2—1）=1,即y（2y2 + y -1） = 0.*1 = 0，y2 = -1, y3 =；所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1） cos2x] = y】=0. 2x] = = + k 兀，即有（k = ，土1，土 2, ？）；（2） cos2x2 = y? = — 1，2x2 = 11 + 2k 兀， 即有xo = — + kn (k=0, 1, 2, ?)：(3 ) cos2x3 == ；，2x3 = — + 2k n ,— 3叩有 x3 = + -^- + k n (k=0, 1, 2 ?); o综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的•因为有些方程组 如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别 是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明 智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组， 也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3 .解方程组:2x-5y则原来方程组可以转化为:］物+3寸=10 房-2妒1即有,J a=l[b=2代回求解x和y的值,即有:{ 3x-2y=l.I 2x-5y=05J x=4/l\解得，I尸以怨，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5.(第二届国际数学竞赛第2題)存在哪些值使得下面的不等式成立？4/ <2 + 9 (l-Vl + 2x)_解：将VTF云看做“元”，用“新元” y替换，则\4T^=y：既有x = T；故，原不等式可以转化为：多mfv，—i+9易得y * 1;既(1 — y)2 > 0-,故(y2 — 1) < (1 — y)2(y2 + 8):解得：y<2VX <-1 - 2故，0 < V1T2I < ；：即原不等式解得:Z例题6.如果p+ q+ r = 1,且題足0 < p, q, r < b请证明:V5 +分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于OWp, q, r< b即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令p = cosx.q = sirTxcos’y, r = sibxsinsy, 其中有x, y E [o, 4]；则有：VP + Vq + Vr = VCOS2X + JsirT xcos2y + /sin~xsins~y=cosx + sinxcosy + sinxsiny=cosx + sinx(siny + cosy)=cosx + VSsinxsin (y + j) < cosx + V2sinx =V3 sin(x + z)< V3故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列｛ a「｝由循环公式a I = 1, a =土(1 + 4 a “ +J1 + 24L)构成,其中n= 1. 2, 3, ?,求a”的通项公式是什么？解：将J1 + 24L看成“元”，用xn为“新元”替换，既有J1 + 24 a n = Xn；则有 an = (xn2-l)由此可得：。
1=1,2 = ：3 =专,1=覆?，既有：。