专题6-2数列求和归类目录一、热点题型归纳【题型一】等差等比数列求和 2【题型二】分组求和 3【题型三】倒序求和 5【题型四】错位相消求和 7【题型五】裂项相消常规型 9【题型六】分段求和 11【题型七】正负相间求和 14【题型八】 型裂项相消 15【题型九】型裂项相消 17【题型十】型裂项相消 19【题型十一】型裂项相消 21【题型十一】“分子分母有理化”型裂项 21【题型十二】型裂项相消 24二、真题再现 25三、模拟检测 33【题型一】等差等比数列求和【典例分析】在等差数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值.【全国百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学（文）试题【答案】(1) ;（2) 试题解析：(1)设等差数列的公差为，由已知得解得 ，即 （2)由(1)知=…+ = 【提分秘籍】等差等比求和公式：等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.等比：前n项和公式：Sn＝【变式演练】1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.（1）求；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2）试题解析：（1）；（2）， .2.已知等差数列的公差不为零， ，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（1）设数列的公差为，由题意得，即，于是，又因为，所以（舍去），，所以．（2）令，由（1）知，故是首项为25，公差为－6的等差数列．从而．【题型二】分组求和【典例分析】已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，由不等式的解集为得到和的值，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）中的通项公式得到的通项公式，由的通项公式的特点进行等差数列和等比数列分组求和，进而得到的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为.因为关于的不等式的解集为，所以，又，得， 所以，解得.所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，.因为，所以， 所以数列的前项和 .所以.【提分秘籍】基本规律分组求和法：1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减【变式演练】1.已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求得.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，，由于是和的等差中项，即，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），.2.已知正项数列满足：，，.（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（2）若，设，，求数列的前项和. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．【详解】解：（1）∵，又是正项数列，可得，∴，∴当时，数列不是等比数列；当时，易知，故，所以数列是等比数列，首项为，公比为2.（2）由（1）知，，，∴.【题型三】倒序求和【典例分析】已知函数．（1）证明函数的图像关于点对称;（2）若，求； 【答案】（1） 证明：见解析；（2）；【解析】试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,则有因此函数图像关于点对称 4分（2）由（1）知当时，①②①+②得8分【提分秘籍】基本规律倒序求和，多是具有中心对称的【变式演练】1.设奇函数fx对任意x∈R都有f(x)=f(x−1)+12.(1)求f12和f(kn)+f(n−kn)(k=0,1,2,…,n)的值；(2)数列an满足：an=f0+f1n+f2n+⋯fn−1n+f1−f12，数列an是等差数列吗？请给予证明； 【答案】解：（1）14，12；（2）是等差数列.【解析】【分析】（1）根据fx=fx−1+12，且f（x）是奇函数，将12代入，可求f12的值，再结合奇函数得到fx+f1−x=12．令x=kn，即可求得结论；（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．【详解】解：（1）∵fx=fx−1+12，且f（x）是奇函数∴f12=f12−1+12=f−12+12=−f12+12 ∴2f12=12，故f12=14因为fx=fx−1+12=−f1−x+12，所以fx+f1−x=12．令x=kn，得fkn+f1−kn=12，即fkn+fn−kn=12．（2）令Sn=f0+f1n+f2n+⋯fn−1n+f1又Sn=f1+fn−1n+⋯+f1n+f0两式相加2Sn=f0+f1+f1n+fn−1n+⋯+f1+f0=n+12．所以Sn=n+14，故an=sn−f12=n+14−14=n4，n∈N∗又an+1−an=n+14−n4=14．故数列{an}是等差数列．2.已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.【答案】（1）见证明过程（2）Sm＝【分析】（1）根据P1P2的中点P的横坐标是可得x1＋x2＝1，计算y1＋y2＝，代入x1＋x2＝1可得y1＋y2＝，即可得证；（2）利用倒序相加法求数列的和即可.【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝，y2＝∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴点P的纵坐标为＝.∴点P的纵坐标是定值．（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝f＋f＋f＋…＋f ＝f＋f＋f＋…＋f＋f(1)．令S＝f＋f＋f＋…＋f，①倒序得S＝f＋f＋f＋…＋f，②①＋②，得2S＝＋[f＋ f]＋[f＋ f]＋…＋[f＋f]．∵＋＝1(k＝1，2，3，…，m－1)，∴由（1）知f＋f＝.∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1)．又f(1)＝＝，∴Sm＝S＋f(1)＝(m－1)＋＝【题型四】错位相消求和【典例分析】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.【提分秘籍】基本规律错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．【变式演练】1.设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足， 求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，求出，即得解；（2）由题得，再利用错位相减法求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此；（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.2.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由在上有递推式，即可得，说明此等量关系在上都成立，则可求的通项公式；（2）结合（1）知，利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由点在直线上，有，当时，，两式相减得，即，，又当时，而，解得，满足，即是首项，公比的等比数列，∴的通项公式为.（2）由（1）知，，则，.两式相减得所以.【题型五】裂项相消常规型【典例分析】设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（）（2）【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.【提分秘籍】基本规律裂项相消法：常用的裂项公式有：①＝－； ②＝； ③＝－；④＝－； ⑤＝×＝×[－]【变式演练】1.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，得，，则，，进而可得答案；（2）利用（1）由得，，利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）由，得，同理可得，设公差为，则，，所以.（2）由得，，所以所以.2.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，且是与的等比中项，∴，解得，，∴.（2）由（1）得∴，∴【题型六】分段求和【典例分析】已知数列的前项和为，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由已知变形为，可证得等差数列；（2）由（1）求得，从而得，对按奇数项和偶数项分别分组求和，奇数项的和用裂项相消法求和，偶数项用等比数列前项和公式求和．【详解】解：（1）证明：因为，，所以，所以，所以.所以是以为首项，以为公差的等差数列.（2）由（1）可得，所以.∴∴．【提分秘籍】基本规律分段数列求和：1.分奇偶讨论，各自新数列求和。
注意奇数项与偶数项各自项数2.要注意处理好奇偶数列对应的项：（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和【变式演练】1.．设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求. 【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，根据条件求出，，再代入通项公式即可；（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求和，即可得答案；【详解】（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，，，可得，，解得，，则，，；（2）.2.已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，设，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）.【分析】。