矩阵秩的相关理论的证明内容提要 在矩阵理论中，矩阵的秩是代数学中一个非常重要的概念，在代数研究中有着重要的作用,它是研究线性方程组、向量空间、欧式空间、线性变换及二次型的一个有力工具因而,了解矩阵的秩可以为更好地学习、研究代数方面打下基础本文主要是讨论满秩矩阵秩中常见的一些性质、定理及结论，并且从Sylvester公式出发，去探讨一个以刻画矩阵秩的完美公式，并且去得到相关的一系列的结果此外还研究了方程组的解与矩阵秩的关系;最后，就矩阵秩的证明方发及应用加以概括和总结关键词 矩阵；矩阵的秩；行满秩阵；列满秩阵；Sylvester公式；伴随矩阵一、矩阵及矩阵秩的定义1、矩阵的定义 数域P上个数排成的S上列的表称为数域P上的矩阵，记为,简记A，也记为，即A=当时，即矩阵称为阶方阵如果A,B是同行矩阵（即行数相同，列数相同），且对应的元素相等，则称A与B相等，记为A=B.2. 矩阵秩的定义 设为矩阵, 如果存在的阶子式不为零, 而任何阶子式(如果存在的话)皆为零,则称数为矩阵的秩, 记为.规定零矩阵的秩等于零.当, 称矩阵为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵.二．矩阵秩的相关性质及其推论推论设是阶方阵，则有, 。
证 可以通过证明方程组与有完全相同的解得到结论成立 假设，左边乘以后可得，即的解是的解反之假设，则必有假设则个元向量线性无关，与题矛盾因此，结论成立从上述结论，我们可以知道阶方阵的秩的多少次方都是相等的引理 设是秩为的矩阵, 存在 1）可逆矩阵, 使得的后行全为0, 2）可逆矩阵, 使的后列全为0. 证 存在可逆矩阵,, 使 . （1） 令, 其中设为矩阵A 行的子块,有 .得到结论一成立再令 , 其中设为矩阵A 列的子块,有 ,得结论二成立.从上述定理，我们可以知道任意一个矩阵与其它的可逆矩阵相乘，秩是保持不变 再来看下面的推论推论设是一个矩阵, 是一个矩阵, 则1）若, 则. 2）若, 则.证 1）由上面的引理我们可以知道,存在非奇异矩阵，使,又因为的秩为, 所以可得子块阶非奇异矩阵.因此有.2）, , .存在非奇异矩阵, , 为n阶非奇异矩阵因此有 得到上述结论成立。
从上述推论我们可以得出结论：任意一个矩阵左（右）乘一列（行）满秩矩阵, 其秩是不变的;推论 设, 是数域上的满秩矩阵, 存在数域上的阶可逆矩阵, 使得.证 因为是列满秩矩阵, 所以存在阶可逆矩阵, 使得,同理可知存在阶可逆矩阵, 使得,因此有 ,推出 ,设 , 则有 .得出结论成立推论 设是阶实对称正定矩阵,是实矩阵, 则是列满秩矩阵的充分必要条件为正定.证 充分性: 由题为正定矩阵, 则对任意的实维列向量, 存在, 即, 又因为正定知, 所以得 只有零解, 因此 , 即是列满秩矩阵. 必要性: 因为, 所以有为实对称矩阵. 又因为是列满秩矩阵, 有, 因此只有零解. 所以对任意的实维列向量, 都有, 因此有 , 即正定.得出结论成立三．Sylvester公式及其推论我们已经知道在矩阵论中，矩阵的秩是最基本的概念之一，它最早是由Sylvester引进的而矩阵的秩是则是矩阵诸多数量特征中既抽象又本质的数字特征之一，它是矩阵在初等变换下的不变量。
而关于矩阵的秩有一系列的不等式，但是在矩阵秩的等式当中Sylvester与Frobenius不等式是两个最基本的不等式，它们在矩阵理论中也占有非常重要的地位我们先来看矩阵秩的一个基本结论是： 设是矩阵，是矩阵，且满足,则有接着我们先来看 Sylvester不等式 定理（Sylvester（薛尔佛斯特）公式） 设分别是与矩阵, 则 .证： 由题有 ,又因为,所以有 即. 在Sylvester定理中, 我们可以将与分别是形如,,的矩阵时, 可以得出更多的结论:推论1 设 ,,,则有.证 将，分块矩阵及其广义矩阵进行初等变换可得： 有 ,即 .可得结论成立推论2 设, 则有. 推论3 设, 则.有上面的推论，我们可以跟广泛一些，变可得下面的推论：推论4 ,,,则有.证 由推论1, 我们有 结论成立定理2（ Frobenius（佛罗扁尼斯）公式） 假设设分别是与,矩阵, 乘积有意义, 则有 证 设是矩阵, , 则存在阶可逆阵, 阶可逆阵, 使得 , 把适当分块, , 由上式有,所以有 .即 命题成立 由Frobenius定理我们也可以得出下面的推论推论 设为阶方阵, 为任意自然数. 则.证 我们对其用数学归纳进行证明. 当时, 不等式显然成立. 当时, 由Frobenius公式知,进而可得 ,不等式成立.我们假设当时成立. 即:.又因为可得出 .即不等式对时也成立. 所以结论成立。
四．矩阵秩性方程组中的应用推论 设为矩阵, 对任意矩阵, 由可得 的充要条件是（的列数）.证 1）若, 则矩阵方程（为未知矩阵, 为阶单位矩阵）有解. 任取其一解, 则, 于是对等式左乘以即得,从而得.2) 反之, 若由可得, 则必. 因若不然, 设. 则齐次线性方程组必有非零解. 于是以非零解为列所得的矩阵且,其中. 即有, 但是, 矛盾, 因此必.注 同理, 由(在矩阵可乘前提下)可得的充要条件是的行数.推论 设为任意矩阵, 为未知矩阵. 则矩阵方程 必有解.证 设.若, 则结论显然成立 下设.于是存在阶可逆矩阵 使,其中为阶单位矩阵.现在令,其中依次分别为任意的 矩阵. 于是有==.从而为矩阵方程的解.注 从以上证明还可知, 当时, 矩阵方程不仅有解, 而且有无穷多解.推论 设分别为矩阵, 而为未知矩阵. 则矩阵方程有解的充要条件是:.当 时, 矩阵方程有惟一解.证 （1） 设有解.今任取其一解 则有. 由此可知, 矩阵方程分别有解:,于是 .反之, 设以上二等式成立, 则由前面的结论知, 矩阵方程有解. 各任取其一解, 设为, 则有 ①又由上题知, 矩阵方程有解, 任取其一解, 于是有 ②再由①、②可得,即是矩阵方程的解, 从而方程有解.（2）证解的惟一性.在假设条件下, 方程有解.设为其任二解, 有,从而都是矩阵方程的解.但由于,故其解是惟一的, 因此.从而.这说明, 矩阵的每一列都是齐次线性方程组(这里为未知矩阵)的解, 但由于 ,故只有零解.因此.即矩阵方程的解是惟一的.五．矩阵秩的证明方法总结在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解得情况都有密切的联系矩阵的秩的内容丰富，其应用十分广泛的，不仅仅在数学中有应用，而且在控制论及信息处理技术等等其他学科中得到广泛应用，并且随着越来越多的国内数学家的努力与研究，矩阵的秩将会有一个更大的发展空间证明矩阵秩的有关理论，有许多方法若充分利用分块矩阵来证明，虽然带有一定得技巧性，但并不难想，尤其是，这种方法的证明本身显得十分简洁，而且方法也很统一，具有极大的优越性不等式的证明可以转化为证两个相关联的分块矩阵等价，而后者可由适当的初等变换来证明除了用分块矩阵以外，它可以用行（列）向量组的极大线性无关组来证，用矩阵的初等变换来证明，还可以联系到齐次线性方程组的基础解系来证参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京: 高等教育出版社,1988．[2] 杨子胥. 高等代数习题解 . 济南： 山东科学技术出版社，2003[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹 . 北京： 中央民族大学出版社，2005[4] 黎伯堂. 高等代数解题技巧与方法. 济南： 山东科学技术出版社，1999Abstract：In the matrix theory, matrix rank, a very important concept in algebra, plays an important role. It is a powerful tool for studying linear equations, vector spaces, Euclidean space, linear and quadratic. Thus, the research on matrix rank is helpful for better learning and researching on algebra. This paper mainly discusses some common properties, theorems and conclusions of matrix rank in full rank matrix ,and aims at finding out a series of results by discussing a perfect formula based on the Sylvester formula. In addition, the paper also analyzes the relationship between the solution of the equations and the matrix rank. Finally, the prooving methods and applications of matrix rank are summaried.。