考研数学曲线质心和形心的计算方法分析

1考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析来源：文都网校在考研数学一和数学二的考试大纲中，要求考生掌握一些定积分在物理方 面的应用，包括会用定积分计算变力做功、引力、压力、质心和形心等，另外， 对于数学一的考生，还要求会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些物理量， 包括：计算物体的质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等，其中关 于细棒和平面薄片、立体的质心和形心的计算，在一般高等数学教材和复习资 料上都有相应的介绍，但对于曲线的质心和形心的计算，一般资料上都没有或 很少介绍，有些同学对此感到有些困惑，为了帮助同学们了解这一点，下面文 都网校的蔡老师对曲线的质心和形心的计算方法做些介绍，供大家参考一、曲线质心和形心的计算方法一、曲线质心和形心的计算方法 1）平面曲线质心和形心计算公式：①设平面曲线的线密度为，则的质心为：L( , )x yL( , )x y；( , )( , ) ,( , )( , )LLLLxx y dsyx y ds xyx y dsx y ds  若密度为常数，则得曲线形心坐标为 , )x y,LLLLxdsyds xydsds   ②以参数方程形式表示的平面曲线的质心和形心计算公式：若曲线的参数方程为，则L( )()( )xx ttyy t 。

22222222( ) [ ( ), ( )]( )( )( ) [ ( ), ( )]( )( ) , [ ( ), ( )]( )( )[ ( ), ( )]( )( )x tx ty txtyt dty tx ty txtyt dt xy x ty txtyt dtx ty txtyt dt     若密度为常数，则得曲线形心坐标为( , )x y22222222( )( )( )( )( )( ) , ( )( )( )( )x txtyt dty txtyt dt xy xtyt dtxtyt dt     2）空间曲线质心和形心计算公式：①设空间曲线的线密度为，则的质心为：( , , )x y z( , , )x y z；( , , )( , , )( , , ) ,,( , , )( , , )( , , )xx y z dsyx y z dszx y z ds xyzx y z dsx y z dsx y z ds   2若密度为常数，则得曲线形心坐标为。

, , )x y z,,xdsydszds xyzdsdsds   ②以参数方程形式表示的空间曲线的质心和形心计算公式：若曲线的参数方程为，则( )( )()( )xx tyy ttzz t   ，222222( ) [ ( ), ( ), ( )]( )( )( )[ ( ), ( ), ( )]( )( )( )x tx ty tz txtytzt dt x x ty tz txtytzt dt    222222( ) [ ( ), ( ), ( )]( )( )( )[ ( ), ( ), ( )]( )( )( )y tx ty tz txtytzt dt y x ty tz txtytzt dt    222222( ) [ ( ), ( ), ( )]( )( )( )[ ( ), ( ), ( )]( )( )( )z tx ty tz txtytzt dt z x ty tz txtytzt dt    若密度为常数，则得曲线形心坐标为( , , )x y z，222222222222( )( )( )( )( )( )( )( ) , ( )( )( )( )( )( )x txtytzt dty txtytzt dt xy xtytzt dtxtytzt dt     。

222222( )( )( )( )( )( )( )z txtytzt dt z xtytzt dt    二、典型例题分析二、典型例题分析例例 1. 求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心a2( , )1x y解：取坐标系如图所示由对称性知，由的参数方程得0y Lcos()sinxattyat  3，故质心坐标为2222( )( )( )cossin( )( )x txtyt dtat adtax xtyt dtadt     sin(0,)a 例例 2. 摆线的一拱的形心是（ ）(sin ):(02 )(1 cos )xa ttLtyat (A) (B) (C) (D)4(,)3aa2(,)3aa5(,)4aa7(,)4aa解：4 个选项中的横坐标都相同，所以只需求纵坐标即可：y222200 222200( )( )( )(1 cos )21 cos( )( )21 cosy txtyt dtatatdt y xtyt dtatdt    ，故选(A)。

223002018(1 cos )2sin2 2sin4322 234 22sin2ttaatdtadt atdt 例例 3. 已知螺旋线的一圈的方程为（）（cos ,sin ,xat yat zbt02t ），螺旋线上任一点处的线密度等于该点到原点距离的平方，,0a b ( , , )P x y z求曲线的质心解：由题意知，22222222 2( , , )cossinx y zxyzatatb t，质心坐标为：22222( )( )( )dsxtytzt dtab dt2222222 22222 200 2222222 22222 200cos (cossin)cos ()(cossin)()at atatb tab dtat ab tdt x atatb tab dtab tdt   ，同理可得2222223246 83423abab abab 222222 222222 0 222222222 222232 0sin (cossin)46 834(cossin)23at atatb tab dtababyabatatb tab dtab   ，4222222 2222222222 0 222222222 222232 0(cossin)2(2)3(2) 834(cossin)23bt atatb tab dtbabbabzabatatb tab dtab  ，故质心坐标为。

22222222222222663(2)(,,)343434ababbab ababab 从上面的介绍和例题可以看到，曲线的形心就是均匀分布的曲线的质心， 形心是质心的一种特殊情况，这一点与细棒和平面薄片及立体的形心是相同的； 曲线质心和形心坐标的计算常常通过曲线的参数方程化为定积分来计算；最后 说明一点，曲线质心和形心可能在曲线上，也可能不在曲线上，如圆的形心在 圆心，而圆心是不在圆上的关键词：考研数学关键词：考研数学 质心质心 形心形心 曲线的质心曲线的质心 曲线的形心曲线的形心。