2007年考研数学三真题及完整解析

20072007 年研究生入学考试数学三试题年研究生入学考试数学三试题一、选择题：一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当x  0时，与（A）1exx等价的无穷小量是（B）ln1 x（C）1x 1（D）1cosx[]1x（2）设函数f (x)在x  0处连续，下列命题错误的是：f (x)f (x) f (x)存在，则f (0)  0（B）若lim存在，则f (0)  0.x0x0xxf (x)f (x) f (x)（B）若lim存在，则f (0)  0（D）若lim存在，则f (0)  0.x0x0xx（A）若lim[]（3） 如图， 连续函数下半圆周， 在区间2,0,0,2y  f (x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设F(x) （A）F(3) x0f (t)dt，则下列结论正确的是：35F(2)(B)F(3)F(2)4435（C）F(3)F(2)（D）F(3) F(2)[]44（4）设函数f (x, y)连续，则二次积分（A）（C）2dx1sinxf (x, y)dy等于1dy01arcsinyf (x, y)dx（B）dy010arcsinyarcsin yf (x, y)dxf (x, y)dxdy01arcsin y2f (x, y)dx（D）dy2（5）设某商品的需求函数为Q 1602P，其中Q,P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C) 30.(D)40.[]（6）曲线y 1ln1ex的渐近线的条数为x（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（7）设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)(C)12,23,31(B)(D)12,23,31122,223,321.122,223,321.[] 211100（8）设矩阵A  121 ,B  010，则A与B112000(A) 合同且相似（B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0  p 1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为（A）3p(1 p).（B）6p(1 p).（C）3p (1 p).（D）6p (1 p)[]（10）设随机变量222222X,Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x), fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y  y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x | y)为(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x) fY(y).(D)fX(x).[]fY(y)二、填空题二、填空题：11～16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.x3 x21(sin xcos x) __________.（11）limx2x x3（12）设函数y 1(n)，则y(0) ________.2x3（13） 设 y x zz__________.f (u,v)是二元可微函数，z  f,，则x yxyx y3dyy1 y （14）微分方程满足ydxx2x00（15）设矩阵A 00（16）在区间x11的特解为y ________.1000103，则A的秩为.0010000,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1的概率为.2三、解答题：三、解答题：17～24 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） ( (本题满分 10 分)设函数y  y(x)由方程yln y  x y  0确定，试判断曲线y  y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.（18） ( (本题满分 11 分)x2,| x|| y|11设 二 元 函 数f (x, y) ， 计 算 二 重 积 分,1| x|| y| 2x2 y2f ( x,Dy)d， 其 中D x ,y |x  || y |.2（19） ( (本题满分 11 分)设函数f (x),g(x)在a,b上连续， 在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a)  g(a), f (b)  g(b)，证明：存在(a,b)，使得f ()  g().（20） ( (本题满分 10 分)1展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.x23x4（21） ( (本题满分 11 分)将函数f (x) x1 x2 x3 0设线性方程组x12x2ax3 0与方程x12x2 x3 a1有公共解，求a的值及所有公共解.2x14x2a x3 0（22） ( (本题满分 11 分)设三阶对称矩阵A的特征向量值11,2 2,3 2，1 (1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量，记B  A54A3 E，其中E为 3 阶单位矩阵.（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B.（23） ( (本题满分 11 分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2 x y,0 x 1,0  y 1.f (x, y) 其他0,（I）求P(II) 求ZX  2Y； X Y的概率密度.20072007 答案答案1….【分析分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解详解】当x  0时，1ex1 x，1x 1x，1cosx212 x21x，2故用排除法可得正确选项为（B）.ln事实上，limx01 x1111xlimln(1 x)ln(1x) lim1 x1x 2 x1，x01xx0x2 xx.或ln1 x ln(1 x)ln(1x)  xo(x)x o( x) x o( x)1x所以应选（B）【评注评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算..2…….【分析分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f (x)去进行判断，然后选择正确选项.【详解详解】取f (x) | x|，则limx0f (x) f (x) 0，但f (x)在x  0不可导，故选（D）.x事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得f (0)  0.在（C）中，limx0f (x)f (x) f (0)f (x) lim 0，所以(C)项正确，存在，则f (0)  0, f (0)  limx0x0xx0x故选(D)【评注评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.3…….【分析分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解详解】利用定积分的几何意义，可得12112113F(3)1 ，F(2) 2 ，2222280211f (x)dx  f (x)dx f (x)dx 12.0202233所以F(3)F(2) F(2)，故选（C）.442F(2) 2【评注评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.4…….【分析分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解详解】由题设可知，故应选（B）.【评注评注】本题为基础题型. 画图更易看出.5…….【分析分析】本题考查需求弹性的概念.【详解【详解】选（D）.商品需求弹性的绝对值等于故选（D）.【评注评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.6…….【分析分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解详解】lim y  limln 1exxx2 x ,sin x  y 1，则0  y 1,arcsin y  x ，dQ P2P1 P  40，dP Q1602P1x1x , lim y  limln 1e 0，xxx所以y  0是曲线的水平渐近线；lim y  limx01ln1ex ，所以x  0是曲线的垂直渐近线；x0xx1exxln1eln 1exyx1elim lim 0 lim lim1，xxxxxxx1b  lim y  x  limln 1exxx故选（D）.1x 0，所以y  x是曲线的斜渐近线. x【评注评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法 .注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x  ,x  时的极限不同.7……..【分析分析 】本题考查由线性无关的向量组1,2,3构造的另一向量组x1,2,3的线性相关性 . 一般令1,2,31,2,3A，若【详解详解】由A 0，则1,2,3线性相关；若A  0，则1,2,3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.122331 0可知应选（A）.或者因为101 10111012,23,311,2,3，而110  0，011011所以12,23,31线性相关，故选（A）.【评注评注】本题也可用赋值法求解，如取1（B）， （C），1,0,0,20,1,0,30,0,1，以此求出（A），TTT（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.8……【分析分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.A的特征值，并考虑到实对称矩阵A2【详解详解】 由111(3)2可得12 3,3 0，E  A 11212所以A的特征值为 3,3,0；而B的特征值为 1,1,0.所以A与B不相似，但是A与B的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以A与B合同，故选（B）.【评注评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）.9……..【分析分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标｝ C3p(1 p) p  3p (1 p)，故选（C）.【评注评注】本题属基本题型.10…….【分析分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式1222fX|Y(x| y) 【详解详解】因为f (x, y)可求解.fY(y)fX(x) fY(y).X,Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f (x, y) f (x, y)fX(x) fY(y) fX(x)，应选（A）.fY(y)fY(y)故fX|Y(x| y) 【评注评注】若X,Y服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的.11….【分析分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x21xxxx3 x212220 0,| sin xcos x| 2，【详解详解】因为lim limx2x x3xx311x2x3 x21(sin xcos x)  0.所以limx2x x3【评注评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.12,……..【分析分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.(1)n2nn!12(1)n2nn!(n)(n)【详解详解】y ，则y(x) ，故y(0) ., y  n12n132x3(2x3)2x3【评注评注】本题为基础题型.13…….【分析分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解详解】利用求导公式可得zy1 2f1f2，xxyz1xf12f2，yxy所以xyzzx  y 2f1 f2.xyyxy.x【评注评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.14…..【分析分析】本题为齐次方程的求解，可令u【详解详解】令u y，则原方程变为xdu1dudxu  xu u33 .dx2u2x两边积分得1111 ln xlnC，22u22y2即x 1u212e x ex，将yCCx11代入左式得C  e，x1，x  e.ln x1x2故满足条件的方程的特解为【评注评注】本题为基础题型.ex  ey，即y 215……….【分析分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩.300【详解详解】A 0010000010003 A 00001000000100 r(A) 1.0000【评注评注】本题为基础题型.16……….【分析分析】根据题意可得两个随机变量服从区间【详解详解】利用几何概型计算. 图如下：0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.y1AO1/21/2x211S23.所求概率ASD14【评注评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.17……..【分析分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解详解】 方程yln y  x y  0两边对x求导得yln y  y即y(2ln y) 1，则上式两边再对x求导得则y(1) y1 y  0，yy(1)1.21，所以曲线y  y(x)在点(1,1)附近是凸的.8【评注评注】本题为基础题型.18…….【分析分析】由于积分区域关于x, y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解详解】因为被积函数关于x, y均为偶函数，且积分区域关于x, y轴均对称，所以f (x, y)df (x, y)d，其中D为D在第一象限内的部分.1DD1而D1f (x, y)dxy1,x0,y0x2d1xy2,x0,y01x  y22d12ln 12.12所以D1f (x, y)d4 2ln 12.3【评注评注】被积函数包含x2  y2时, 可考虑用极坐标，解答如下：2 ln(12).. .19…….【分析分析】由所证结论f ()  g()可联想到构造辅助函数F(x)  f (x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解详解】令F(x)  f (x) g(x)，则F(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且F(a)  F(b)  0.（1）若f (x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f (c)  g(c)  F(c)  0，于是由罗尔定理可得，存在1(a,c),2(c,b)，使得F(1)  F(2)  0.再利用罗尔定理，可得存在(1,2)，使得F()  0，即（2）若f ()  g().f (x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f (c1)  g(c2)  M，于是F(c1)  f (c1) g(c1)  0,F(c2)  f (c2) g(c2)  0，于是由零值定理可得，存在c3(c1,c2)，使得F(c3)  0于是由罗尔定理可得，存在1(a,c3),2(c3,b)，使得F(1)  F(2)  0.再利用罗尔定理，可得 ，存在(1,2)，使得F()  0，即【评注评注】对命题为f(n)f ()  g().()  0的证明，一般利用以下两种方法：(n1)方法一：验证为f方法二：验证f. .(n1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；(x)在包含x 于其内的区间上满足罗尔定理条件.20….【分析分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解详解】f (x) 11111，而2x 3x4(x4)(x1)5x4x1n1111 x1(x1)n   n1,2  x  4，x431x13n033n031111x1(1)n(x1)n,1 x  3，n1x1x1212n022n02n(x1)n(1)n(x1)n1(1)nn1n1(x1)n，所以f (x)  n1n1322n0n0n03收敛区间为1 x 3.【评注评注】请记住常见函数的幂级数展开.21…..【分析分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a.【详解详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵11A 111000112a4a22110 10000a1010 1a10.23a 1010a110 1a10.01aa10(a1)(a2)01110 11a1000a23a20 001aa10显然，当a 1,a  2时无公共解.当a 1时，可求得公共解为当a  2时，可求得公共解为 k1, 0 ,1,k为任意常数；0, 1, 1.TT【评注评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.22……【分析分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解详解】（I）B1A54A3 E1151413111541311 21，则1是矩阵B的属于－2 的特征向量.同理可得53B2242122，B335433133.所以B的全部特征值为 2，1，1设B的属于 1 的特征向量为2 (x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T1T2 0.即x1 x2 x3 0，解方程组可得B的属于 1 的特征向量2 k1(1,0,1)T k2(0,1,0)T，其中k1,k2为不全为零的任意常数.T由前可知B的属于－2 的特征向量为k3(1,1,1)，其中k3不为零. 101 100 -1（II）令P 011，由（Ⅰ）可得P BP  010，则101002 011B 101.110【评注评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵A的特征值，则kA,aA bE, A , f (A), A , A分别有特征值21*k,ab,, f (),21A,(A可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的23…….【分析分析】（I）可化为二重积分计算；(II) 利用卷积公式可得.【详解详解】（I）PXx20 2Yx2y2 x ydxdy dx2 x ydy 017.24(II) 利用卷积公式可得z(2 x)dx,0  z 102z  z20  z 11(2 x)dx,1 z  2 (2 z)21 z  2.z10,其他0,其他【评注评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.. .（24） (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为(X1, X2,……, Xn)为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.（I）求参数的矩估计量；（II）判断4X是否为的无偏估计量，并说明理由.【分析分析】利用EX22 X求（I）；判断E 4X 2?2.【详解详解】（I）EX xf (x)dx 01xx1dxdx ，2 1224令X 2211 2X .422221（II）E4X 4EX 4 DX EX 4DX EX，n而EX2x f (x)dx 22201x2x221dxdx ，221336所以DX  EX EX所以212125，481 1 5 21 12E4X2 4DX EX121，n3n3n412n故4X不是的无偏估计量.【评注评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.22。