关于积分对称性定理1、 定积分：设f (x)在［-a, a］上连续，则r ［ 0, f (x)为兀的奇函数J * | 2^a f (x )lx, f (x )为兀的偶函数I 02、 二重积分：若函数f (x, y)在平面闭区域d上连续，则(1) 如果积分区域D关于x轴对称，f (x, y)为y的奇(或偶)函数,即 f (x,-y)二一f (x,y)(或f (x,-y)二 f (x,y))，则二重积分Jjf (x, y)dxdy=<2[0, f (x, y)为y的奇函数f (x, y hxdy, f (x, y )为的偶函数1其中：D为D满足y > 0上半平面区域1(2) 如果积分区域D关于y轴对称，f (x,y)为x的奇(或偶)函数, 即 f (一x,y) = 一f (x,y)(或f (一x,y)=f (x,y))，则二重积分・「 0, f (x，y)为x的奇函数"f (x，y：dxdy = < 2.・ f (x，yhxdy， f (x,y)为兀的偶函数D2其中：D为D满足x > 0的右半平面区域2(3) 如果积分区域D关于原点对称，f (x, y)为x, y的奇(或偶)函数，即f (一x,—y) = _f (x, y)(或f (_x，_y)二 f (x, y))则一重积分0, f G』为;y的奇函数"fGy)ddv=<2^f(x,y^xdv，f(x,y)为;y的偶函数D <马其中：D为D在y > 0上半平面的部分区域。
1(4) 如果积分区域D关于直线y = x对称，则二重积分Uf C, yixdy二J!f (y,xhdy •(二重积分的轮换对称性)DD(5) 如果积分区域D关于直线y = -x对称，则有JJf (x, y^dxdy=\2j\ f (x, y)dxdy当 f (—y,—x)=—f (x, y)时 当(—y, —x)=f (x,y)时D1利用上述性质定理化简二重积分计算时， 应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数f (x, y)具有奇偶性两个特 性3、三重积分：⑴若f (x,y,z)为闭区域Q上的连续函数，空间有界闭区域Q关于xoy坐标面对称，珂为Q位于xoy坐标面上侧z > 0的部分区域，则 有Q0,f (x, y, z)为的奇函数 f (x, y, z)为述勺偶函数注：f (x, y, z)是 z 的奇函数：f (x, y - z)二-f (x, y, z)f (x, y, z)是 z 的偶函数：f (x, y - z)二 f (x, y, z)同样，对于空间闭区域Q关于xoz,yoz坐标面对称也有类似的性 质4、 曲线积分(第一类)(1)若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且f (x,y)在L上为连续函 数, L为L位于y轴右侧的弧段，则1r ( ) J 0, f (x, y)为x的奇函数J X" pf f (x,yhs, f (x,y)为的偶函数1 Li(2)若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且f (x, y )在L上为连续函数, L为L位于x轴上侧的弧段，则if z x J 0, f(X，y)为y的奇函数 J x" 何f (x，yhs，f (x，y)为的偶函数 I L(3)若L关于直线y = X对称，则J f (x, y)ds=J f (y，x)dsLL其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。
5、第二类曲线积分(1) 设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分L与在下半1部分的 L 方向相反，2J P ( x, y ) d x = 0的部分曲面，则口 0, f (x, y, z)为Z的奇函数f (x, y, z用=< 2/If (x, y, zhs, f (x, y, z)为Z的偶函数曲面关于 yoz,xoz 坐标平面对称也有类似的性质7、第二类曲面积分的对称性设函数P(x, y,z),Q(x,y,z),R(x, y,z)在分片光滑的曲面Z上连续，曲面Z］取上侧，在xoy下半空间的部分曲面Z2取定下侧，则(1)设分片光滑的曲面Z关于xoy坐标面对称，且Z在xoy上半空间的部分肝 0, R(x, y, z)关于是偶函数」JR(x,y,z)dxdy=< 2)Jr(x,y,z)dxdy, R(x,y,z)关于是奇函数J Z1(2)设分片光滑的曲面Z关于yoz坐标面对称，且Z在yoz前半空间的部分 曲面Z取前侧，在yoz后半空间的部分曲面込取后侧，则JJp(x, y, z )dxdy=<0, P(x, y, z)关于是偶函数■ c2…P(x, y, z)dydz, P(x, y, z)关于是奇函数zi(3) 设分片光滑的曲面Z关于xoz坐标面对称，且Z在xoz右半空间的部分 曲面Z取右侧，在xoz左半空间的部分曲面Z取左侧，则12,, 0, Qx, y, zJJQ(x，y,z)dxdy彳2血(尢y,z)dydz, Q(x,y,z(4)若积分曲面L关于x, y,z具有轮换对称性，则JJ P (x, y, z )dydz = JJ P (y, z, x )dzdx = JJ P (z, x, y )dxdyLLL=3 JJ P (x, y, z )dydz+P (y, z, x )dzdx+P (z, x, y )dxdy 3L。