1. n行列式共有n2个元素，展开后有n !项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质：① 、A.和a的大小无关；② 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③ 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|a|；3. 代数余子式和余子式的关系：M = （-1）+iA A = （-1）+iM4. 设n行列式D : "将d上、下翻转或左右翻转，所得行列式为丹，则叫=（-i）n（n-1） d ；将D顺时针或逆时针旋转90所得行列式为D，则D2= （-1）TD ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D =D；将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D =D；5. 行列式的重要公式：① 、主对角行列式：主对角元素的乘积；② 、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-1FT ；③ 、上、下三角行列式（|、=| \|）:主对角元素的乘积;④ 、|，和，：副对角元素的乘积x （-1）T ；⑤、拉普拉斯展开式：A °=o C=加、=(-1)mUn |a||B⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6, 对于n阶行列式|A|，恒有：XE-A\ = Xn +£ （-1耶/”-〃，其中S^为k阶主子式;k =17, 证明A = 0的方法：① 、a| =—|a| ；② 、反证法；③ 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解；④ 、利用秩，证明r（A） < n ；⑤ 、证明0是其特征值；二、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：。
A尹0 （是非奇异矩阵）；=r（A） = n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax = 0有非零解；o.b g Rn，Ax = b 总有唯一解；A与E等价；=A可表示成若干个初等矩阵的乘积;=A的特征值全不为0；=ATA是正定矩阵；o A的行(列)向量组是R”的一组基；A是R”中某两组基的过渡矩阵；2,对于n阶矩阵A : AA* = A*A = \a\e无条件恒成立;3.(A-1)* = (A*)-1 (A-i)r = (At )-1 (A*)t = (At )*(AB )T = BtAt (AB )* = B* A* (AB )-1 = B-1 A-14.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:I、II、As JkA| = A \\A |...|4 I；|A「At =②、IA O卜 O B ?③、| O A卜 B O J④、IA C )tO B ?⑤、IA O)T C B JI £IIOA-12A「JBO J;(主对角分块)；(副对角分块)-ACB-1 ]B-1 J；(拉普拉斯)[-BACA-1 0 J；(拉普拉斯)三、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mxn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =fE O］；IO O Jmxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若r(A) = r(B)o A □ B ；2. 行最简形矩阵：① 、只能通过初等行变换获得；② 、每行首个非0元素必须为1；③ 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)① 若(A, E) □ (E, X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ；② 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1 B，即：(A,B)= (E,A-1B)；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果(A,b)B (E,x)，则A可逆，且x = A-1b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：① 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1 \人②、A= 2V，左乘矩阵A,人乘A的各行元素；右乘，i人乘A的各列元素;i-1对调两行或两列，符号E(i, j)，且 E(i,j)-1 = E (i, j)，例如:-1倍乘某行或某列，符号E (i (k))k I1(k 丰 0)；-k、1 (k 尹 0)；且 E(i(k))-1 = E(i(』))，例如: kr 1⑤、倍加某行或某列，符号E(j(k)),且E(ij(k))-1 = E(j(-k))，如：V5. 矩阵秩的基本性质：① 、0 < r(A ) < min(m,n)；② 、r(At) = r(A)；③ 、若 A □ B，则 r(A) = r(B)；④ 、若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤ 、max(r(A),r(B)) r(A) + r(B) -n ；6. 三种特殊矩阵的方幕：① 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;r 1 a c'② 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；V 0 0 1J二项展开式：(a + b)n = C0an + C1 an-1b1 + + Cman-mbm + + Cn-1a1bn-1 + Cnbn = 2 Cmambn-m ；n nm=0注：I、(a + b)n展开后有n +1项;II、厂 n(n -1) (n - m +1)Cm =nn! c 0 c m !(n - m)! n 1III、组合的性质：Cm = Cn-m n nCm = Cm + Cm-1n+1 n n2^ Cr = 2n rCr = nCr-1 ；n n n-1r=0③ 、利用特征值和相似对角化:7, 伴随矩阵：n r (A) = n①、伴随矩阵的秩：r(A*) = {1 r(A) = n-1 ；0 r(A) < n -1② 、伴随矩阵的特征值：甲(AX = XX,A = |a|A-m A*X =^AX)；③ 、a* = |a|a-i、|a*| = |a|”t8. 关于A矩阵秩的描述：① 、,（A） = n , A中有n阶子式不为0, n+1阶子式全部为0；（两句话）② 、r（A） < n，A中有n阶子式全部为0；③ 、r（A） > n，A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax = b，其中A为m xn矩阵，则：① 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程；② 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程；10.线性方程组Ax = b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解;③ 、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a x + a x +•11 1 12 2①、a x + a x +・21 1 22 2・・+ a x = b・・+a x = b2 n n 2a x + a x + …+ a x = bm1 1 m2 2f a11 a12a a②、 21 22a1n a2 nf b,1 b2（向量方程，A为mxn矩阵，m个方程，n个未知数）Em1 am 2 …amn 人"m ^m ^③、(a a气）—（全部按列分块，f b「 其中P= b2）；④、 a x + a x + …+ a x = P (线性表出)1 1 2 2 n n⑤ 、有解的充要条件：r（A） = r（A, p） < n（ n为未知数的个数或维数）四、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A :m个n维行向量所组成的向量组B :a ,a，…,a 构成nxm 矩阵 A = (a ,a，…,a )1 2 m 1 2 mfP1T 1P T2 ；Pt , Pt，…,pT构成m xn矩阵B =含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 oAx = 0有、无非零解；（齐次线性方程组）② 、向量的线性表出 oAx = b是否有解；（线性方程组）③ 、向量组的相互线性表示 o AX = B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵Amxn与B,xn行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（例14）4. r（ATA） = r（A） ； （P 例 15）5. n维向量线性相关的几何意义：① 、a线性相关 oa= 0 ；② 、a,p线性相关 oa,p坐标成比例或共线（平行）；③、a, p,y线性相关 oa, p,y共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若a ,a，…,a线性相关，则a ,a，…,a ,a必线性相关；1 2 $ 1 2 s s +1若a ,a，…,a线性无关，则a ,a，…,a 必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为对偶)1 2 s 1 2 s-1若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A (个数为r)能由向量组B (个数为s)线性表示，且A线性无关，则r