09-06 空间向量的几何运算(理)点一点——明确目标理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算，了解向量共面的充要条件.做一做——热身适应1. 已知a= (1, 0), b= Cm, m) (m>0),贝9〈a, b〉= .答案：45°2. 已知四边形ABCD中，AB =a-2c, CD =5a+6b~8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F,则 EF = 解析：EF=EA+AB+BF又 EF = EC + CD + DF] ] H ] h- ] I两式相加，得 2 EF =( EA + EC)+( AB + CD)+( BF + DF ). •：E是AC的中点，故 EA + EC =0.同理，BF + DF =0.2EF = AB + CD = (a—2c) + (5a+6b — 8c) =6a+6b — 10c. A EF =3a+3b—5c.答案：3a+3b—5c3•设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b， b—a， a} B.{a+b， b—a， b}C.{a+b， b—a， c} D.{a+b+c， a+b， c}解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b—a，c不共面，故可作为空间的一个基底, 故选 C.答案： C4.在平行六面体ABCD—Az Bz C D'中，向量AB'、AD'、BD是B.等长的向量D.不共面向量A.有相同起点的向量C.共面向量解析：A AB'、AD'、BD 共面.答案： C理一理——疑难要点1. 空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.2. a • b=lallblcos〈a, b〉.3.a2=|a|2.4. a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y,使p=xa+yb.5. a、b、c不共面，空间的任一向量p,存在实数x、y、z,使p=xa+yb+zc.空间中的任何 一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量 平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的.6. 若表示向量a，a2，…，a的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a11 2 n 1+ao -I a =0.23n拨一拨——思路方法【例 1】 下列命题中不正确的命题个数是 p * ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB + BC + CD + DA =0 ②lai —lbl=la+bl是a、b共线的充要条件 ③若a、b共线，则a与b所在直线平行 ④对空间任意点O与不共线的三点 A、B、C,若OP =xOA +yOB +zOC （其中 x、y、z^R）,则 P、A、B、C 四点共面A.1 B.2 C.3 D.4解析：易知只有①是正确的，对于④，若O电平面ABC,则OA、OB、OC不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面.答案： C【例 2】 证明空间任意无三点共线的四点 A、 B、 C、 D 共面的充分必要条件是：对于空间任一点 O,存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1,使得 OA =xOB +y OC +zOD .剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知， B、 C、 D 三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点 A、 B、 C、 D 共面O对空间任一点O,存在实数x1>y1，使得OA = OB +x1 BC +y1 BD = OB +x1 （ OC — OB ）* ]+y ( OD — OB ) =( 1 — x11y1 ) OB +x1 OC +y1 OD ，取 x=1—x1—y1、 y=x1、 z=y1，则有OA=xOB+yOC+zOD ，B且 x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为 向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可 用以证明点共（线）面•本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例3】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,将它沿对角线AC折起，使 AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解：如下图，因为ZACD=90°,DB(2)所以AC・CD =0.同理，BA・AC =0.因为AB与CD成60°角，所以〈BA , CD〉=60。
或 120° .因为BD = BA + AC + CD ,所以BD2= BA2+ AC2+ CD2+2BA ・AC +2BA ・CD +2AC ・CD = BA2+ AC2+ CD2 !- *（〈BA , CD〉=60°）,+2 BA • CD =3+2 X 1 X 1 X cos〈 BA , CD〉= ■<〈 BA， CD 〉 =120°）.所以丨BD I =2或<2 ,即B、D间的距离为2或运.C1【例4】在棱长为]的正方体ABCD—A]B]C]D]中，BD]交平面ACB]于点E, DA1求证：(1) BD]丄平面ACB]；1(2) BE= — ED .21证明：(1)我们先证明BD]丄AC.•/ BD] = BC + CD + DD] , AC = AB + BC ,・•・ BD]・ AC =（ BC + CD + DD]）・（AB + BC）= BC ・BC +CD ・ AB = BC ・ BC • » P —AB • AB =| BC I2—IAB 12=] —1=0..•・BD]丄AC.同理可证BD]丄AB],于是BD]丄平面ACB「(2)设底面正方形的对角线 AC、BD交于点M，则BM =-BD =2丄B D，即2 1 1则上述等式可2BM = B D .对于空间任意一点 O,设OB =b, OM =m, OB =b ， OD =d、,] ] ] ] ] ]b + 2m d + 2 b改与成2(m—b)=d—b或b +2m=d +2b.记] ] =e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B]M及D]B各成人(人=2)之比，所以点E既段B]M (B]Mu面ACB]) 上又段D]B 上,所以点E是D]B与平面ACB]之交点，此交点E将D]B分成2与]之比,]即 D E : EB=2 :],・.BE=— ED .] 2 ]思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角 等问题.练一练巩固提高1.已知 a+3b 与 7a—5b 垂直，且 a—4b 与 7a—2b 垂直，贝V〈a, b〉= .解析：由条件知（a+3b） • （7a—5b） =7lal2—15lbl2+16a • b=0，及（a—4b） • （7a—2b）= 17lal2+8lb|2—30a ・b=0.两式相减得46a・b=23lbl2, .a・b= Ibl2.代入上面两个式子中的任意一21lallbl l b|2 2/ a • b 2' b|2个，即可得至到lal=lbl,°.cos〈a, b〉= —.°.〈a, b〉=60° .答案：60°2.平行六面体ABCD—41B1C1D1中，M为AC和BD的交点,若AB1 =a，AD 弘Ai Ac，则下列式子中与％M相等的是1A.— a+21C. a—21 b+c2丄b+c2Ai1B. a+21D.— a—2解析：BM = B1B + BM = B1B +丄（BA+BC）= Al —2-b+c21 —-AB +2 1 1-AD =c2 1 11a+21b,故选A.2答案：A3.0、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则A.0、A、B、C.0、A、B、C四点不共线C四点中任意三点不共线B.0、A、B、C四点共面，但不共线D.0、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，0A、OB、0C三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使OA、OB、OC共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.答案：D4•试用向量证明三垂线定理及其逆定理.已知：如下图，PO、PA分别是平面a的垂线和斜线，OA是PA在a内的射影，a呈a , 求证：a丄PA o a丄OA.证明：设直线a上非零向量a,要证a丄PAo a丄OA,即证a • AP =0oa • AO =0.°.°a W a , a • OP =0,.°.a • AP =a • ( AO + OP ) =a • AO +a • OP =a • AO ..*.a • AP =0oa • AO =0,即卩 a丄PAo a丄OA.评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中,常需要通过加、 减法对向量进行转换,当然,转换的方向是有利于计算向量的数量积.求证： AB1=A1C.证明:J A1C = A1C1 + C1C,BC1 + CC1，A1C - BC1 = (AR + C1C) -(BC + 〜)=A1C1 •BC - C C 2 = 0,1■\C| r =A| C| • RD同理,ait= AL+inr-i3tT=inr+i3i -*■ —■ A Hi • M = 住'+口 J = D(T―■ ■ ■ 1 • ■ ■ ― ■■\ A13 • 13('+a,• i3(r=o.又凡(rt = A(r,――—二 m(AH+ AC)=0. 设D为BC的中点，则石7+衣=2 AD..\2 2JT1* AD=0).\B(1±Aa••・AB=AC.又 A1A=B1B,・：A1C=AB1. 评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时,要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.6•沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力£、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.C解：用a、b、c分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量，贝比=«,，/2=2b, f；=3c,则 f=f1+f2+f3=a+2b+3c，.°.fl2= (a+2b+3c) • (a+2b+3c) =lal2+4l&l2+9lcl2+4o • b+6a • c+12b • c=l+4+9+4blblcos〈a, b〉 +6|a||c|cos〈 a， c〉+12|b||c|cos〈 b， c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25..•.fl=5,即所求合力的大小为5,且 cos 〈 f, a 〉 =l al2 + 2a • b + 3a • c57104同理,可得 cos〈 f, b〉=f,7.在空间四边形ABCD中，求证:AB・ CD + AC ・ DB+ AD • BC =0.AB ・ CD + AC ・DB + AD ・ BC =( AC + b- ►证法一：把AB拆成AC + CB后重组。