插值方法初探与应用摘要插值法是计算数学中的一种重要的方法，而且计算问题可以说是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，无论哪一行哪一业都有许多数据需要处理，插值法正在科学技术中发挥越来越大的作用.本文首先介绍了插值法的概念，并进一步讨论了插值问题的存在性与唯一性；由该性质出发，结合数学归纳法与猜想法构造性的引出拉格朗日插值法.但拉格朗日插值法随着插值结点的变化，会引起重复计算的问题；为克服该问题又引出了牛顿插值.但牛顿插值随着插值结点的增多，会导致多项式的增高插值函数的稳定性降低，为克服该问题又进一步引出分段线性插值.但分段线性插值带来光滑性问题，埃尔米特插值在插值结点处的一阶微商处也符合插值条件，一定程度上克服了这个缺点.三次样条插值能够很好的求出插值结点处的微商值，因此在这些方面，三次样条插值代替了埃尔米特插值.其次介绍了插值法在初高中的一些问题上的应用，为了说明插值法并不是陌生的知识；最后介绍了插值法在热工计算上及温度预测上的处理数据的实际应用.关键字：插值；插值结点；拉格朗日插值；热工计算；温度预测PRELIMINARY SYUDY AND APPLICATION OF INTERPOLATION METHODABSTRACTInterpolation method is a kind of important methods of computational mathematics, and computing problems can be said to be the common problems of each modern social domain, no matter which field it is, many data need dealing with, and interpolation is playing a more and more important role in science and technology. This paper first introduces the concept of interpolation method, and further discusses the existence and uniqueness of the interpolation problem. Starting from the nature, combined with the method of mathematical induction and conjecture leads Lagrange interpolation method constructively. But the Lagrange interpolation method will cause repeated calculation problems with the change of the interpolation node. In order to overcome this problem, piecewise linear interpolation the Newton interpolation is introduced. But piecewise linear interpolation Newton interpolation can lead to the reduction of the stability of higher polynomial interpolation function along with the increase in interpolation nodes, in order to overcome this problem, is introduced. But the piecewise linear interpolation bring smoothness problem, Hermite interpolation order interpolation nodes in the micro business is also in line with the interpolation conditions, to a certain extent, overcomes this drawback. Cubic spline interpolation is good for the derivative of the interpolation node value, so in these respects, cubic spline interpolation can replace Hermite interpolation. Secondly, the application of interpolation method in some problems in the secondary and high school stages are introduced to illustrate interpolation method is not new knowledge. Finally this paper introduces the practical application of interpolation method in the data processing of thermal calculation and temperature prediction.Key words: interpolation; interpolation node; Lagrange interpolation; thermal calculation; temperature prediction目 录1 前言--------------------------------------------------------------------12 插值法------------------------------------------------------------------22.1 插值法的概念--------------------------------------------------------22.2 几种不同插值法------------------------------------------------------22.2.1 拉格朗日插值--------------------------------------------------32.2.2 牛顿插值------------------------------------------------------52.2.3 分段线性插值--------------------------------------------------62.2.4 埃尔米特插值--------------------------------------------------72.2.5 三次样条插值--------------------------------------------------83 插值法的应用-----------------------------------------------------------113.1 基础知识-----------------------------------------------------------113.2 插值法在初高中数学问题中的应用-------------------------------------113.2.1 插值法在初中数学问题中的应用---------------------------------123.2.2 插值法在高中数学问题中的应用---------------------------------163.3 插值法在实际问题中的应用-------------------------------------------193.3.1 热工计算上的实际应用-----------------------------------------193.3.2 温度预测上的实际应用-----------------------------------------224 结论-------------------------------------------------------------------25参考文献-----------------------------------------------------------------26致谢---------------------------------------------------------------------271 前 言插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题.插值法是一个古老的话题，早在公元六世纪，刘焯就创立“等间距二次内插法公式”来计算日、月、五星的运行速度，之后，插值法就随着后来科学家的深入研究使之更加完善.插值法不仅是在算法上能够更加简便，而且在实际应用中，插值法会使很多问题由复杂变为简单从而方便解决.插值法的提出主要源于实际问题，在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值，因此需要用插值方法处理，求出近似函数.在插值问题的研究工作中，对用于逼近的简单函数的类型有不同的选取.多项式或分段多项式最便于计算和使用，因而使用的也比较多。
特别计算机出现后，人们更把注意力集中在利用多项式的插值方面，因为计算公式相对的易于描述和进行程序设计，其误差分析也比较简单.无论国外还是国内，科学家们对于插值法已有了很多研究，如：刘焯、牛顿、拉格朗日、莱昂哈德·欧拉、爱德华·华林等，对于插值法算法的研究，虽然在一些想法上比较抽象，不容易理解，但是在解法上还是比较具体的.通过本论文的研究会对插值法有进一步不一样的了解，会让它在初学者眼里都比较熟悉，同时拓展运算思维能力，因此进一步开展这方面的研究将大有可为.2 插值法实际问题中遇到的函数是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值为进一步分析问题的性质和变化规律，希望找到一种能近似描述函数变化规律、又便于处理的简单函数作为的近似.这就是下面要介绍的插值法所要解决的问题.2.1 插值法的概念插值法又称“内插法”，是利用函数在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用函数的值作为函数的近似值，这种方法称为插值法.如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式；如果这特定函数值是三角函数，就用三角多项式作为插值函数等.因此函数的类型可以有各种不同的选择，但我们最常用的类型是代数多项式，这是因为代数多项式具有一些很好的特性，如：它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，等等.因此本文中的所有插值函数都是代数多项式插值，所以本文讨论的都是代数插值多项式.为定义在区间上的函数，,，……，为上个互不相同的点，为给定的某一函数类。
若函数，满足=， 则称为关于节点,，……，上的插值函数.称点,，……，为插值节点；称称为被插函数.2.2 几种不同插值法上节讨论了插值法的概念，使读者了解插值函数通常用来代替实际函。