动态几何问题动态几何问题 关于对动态几何问题的理解关于对动态几何问题的理解n以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为之为动态几何问题动态几何问题.动态几何试题就是研究在几何动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的量关系的“变变”与与“不变不变”性的试题性的试题 动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性主要以中档题与数学的探究能力和综合素质，体现开放性主要以中档题与综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现 分 类§题型分类：点动型、线动型、面动型§运动形式：平移、旋转、翻折、滚动 题型一：点动型n点动型就是在三角形、矩形、梯形等一就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
图形间的特殊关系等进行研究 例例1．．(08宁夏宁夏)如图，在边长为如图，在边长为4的正方形的正方形ABCD中，点中，点P在在AB上从上从A向向B运动，连接运动，连接DP交交AC于点于点Q1）试证明：无论点）试证明：无论点P运动到运动到AB上何处时，都有上何处时，都有△△ADQ≌△≌△ABQ；；（（2）当点）当点P在在AB上运动到什么位置时，上运动到什么位置时，△△ADQ的面积是正方形的面积是正方形ABCD面积的面积的 ；；（（3）若点）若点P从点从点A运动到点运动到点B，再继续在，再继续在BC上运动到点上运动到点C，在整个运，在整个运动过程中，当点动过程中，当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，△△ADQ恰为等腰三角形恰为等腰三角形1、单动点型、单动点型 例例2（（2008湖北咸宁）湖北咸宁）如图，在如图，在△△ABC 中，点中，点O是是AC边上边上的一个动点，过点的一个动点，过点O作直线作直线MN∥∥BC，设，设MN交交∠∠BCA的角的角平分线于点平分线于点E，交，交∠∠BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F．．（（1）求证：）求证：EO=FO；；（（2）当点）当点O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECF是矩形？是矩形？ 并证明你的结论．并证明你的结论． 解决此类动点几何问题常常用的是解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现类比发现法法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。
类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论类比发现法大致可遵循如下步骤：类比发现法大致可遵循如下步骤：（（1））根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况；能出现的情况；（（2））结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识 （常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论3））类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质 例例3（（08湖北咸宁）湖北咸宁）如图如图①①，正方形，正方形 ABCD中，点中，点A、、B的坐标分别为（的坐标分别为（0，，10），（），（8，，4），点），点C在第一象限．动点在第一象限．动点P在正方形在正方形 ABCD的边上，的边上，从点从点A出发沿出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点匀速运动，同时动点Q以相同速度在以相同速度在x轴上运轴上运动，当动，当P点到点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．秒．⑴⑴⑴⑴当当P点在边点在边AB上运动时，点上运动时，点Q的横坐标的横坐标x（长度单位：（长度单位：㎝㎝）关于运动时）关于运动时间间t（秒）的函数图象如图（秒）的函数图象如图②②所示，请写出点所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点开始运动时的坐标及点P运动速度；运动速度；(2) 求正方形边长及顶点求正方形边长及顶点C的坐标；的坐标；(第第24题图题图①①)（第（第24题图题图②②））(3) 在在(1)中当中当t为何值时，为何值时，△△OPQ的面积最大，并求此时的面积最大，并求此时P点的坐标．点的坐标．2、双动点型 例例4（（08苏州）苏州）如图，在等腰梯形如图，在等腰梯形ABCD中，中，AD∥∥BC，，AB=DC=5，，AD=6，，BC=12．动点．动点P从从D点出发沿点出发沿DC以每秒以每秒1个单位的速度向终点个单位的速度向终点C运动，动点运动，动点Q从从C点出发沿点出发沿CB以每秒以每秒2个单位的速度向个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当点运动．两点同时出发，当P点到达点到达C点点时，时，Q点随之停止运动．点随之停止运动．（（1）梯形）梯形ABCD的面积等于的面积等于 ；；（（2）当）当PQ∥∥AB时，时，P点离开点离开D点的时间等于点的时间等于 秒；秒；（（3）当）当P，，Q，，C三点构成直角三角形时，三点构成直角三角形时，P点离开点离开D点多少点多少时间？时间？ 例例5（（08甘肃白银）甘肃白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点是矩形，点B的坐的坐标为（标为（4，，3）．平行于对角线）．平行于对角线AC的直线的直线m从原点从原点O出发，沿出发，沿x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1个个单位长度的速度运动，设直线单位长度的速度运动，设直线m与矩形与矩形OABC的两边分别交于点的两边分别交于点M、、N，直线，直线m运运动的时间为动的时间为t（秒）．（秒）．(1) 点点A的坐标是的坐标是__________，点，点C的坐标是的坐标是__________；； (2) 当当t= 秒时，秒时，MN=AC；；(3) 设设△△OMN的面积为的面积为S，求，求S与与t的函数关系式；的函数关系式； (4) 探求探求(3)中得到的函数中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．理由．题型二：线动型1、线平移型 2 2、线旋转型、线旋转型例例6 6（（20062006衡阳）衡阳） 已知，如图中，，AB=1，BC= 对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
题型三：图动型n 图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换主要是对给定的图形（或其这三种基本变换主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力力、观察能力、探索与实践能力 例例7 7（（0808广州）广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm， BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、 Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰 △PQR重合部分的面积记为S平方厘米． （1）当t=4时，求S的值． （2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值． 1、图形平移型 图8-2图8-1例例8（（2007资阳）资阳）如图如图8-1，已知，已知P为正方形为正方形ABCD的对角线的对角线AC上一点上一点(不与不与A、、C重合重合)，，PE⊥⊥BC于点于点E，，PF⊥⊥CD于点于点F.(1) 求证：求证：BP=DP；；(2) 如图如图8-2，若四边形，若四边形PECF绕点绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点绕点C按逆时针方向旋转的按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论过程中长度始终相等，并证明你的结论 .2、图形旋转型 3、图形翻折型ADCBNMADCBQEPN例例9 9（（20072007济宁）宁）．如如图，先把一矩形，先把一矩形ABCD纸片片对折，折，设折痕折痕为MN，再把，再把B点叠在折痕点叠在折痕线上，得到上，得到△△ABE。
过B点折点折纸片使片使D点叠在直点叠在直线AD上，得折痕上，得折痕PQ1)求求证：：△△PBE∽△∽△QAB；；(2)你你认为△△PBE和和△△BAE相似相似吗？如果相似？如果相似给出出证明，如不相似明，如不相似请说明理由；明理由； (3)如果沿直如果沿直线EB折叠折叠纸片，点片，点A是否能叠在直是否能叠在直线EC上？上？为什么？什么？ 4、图形滚动例例10（（2006临沂）沂）如如图，小正六，小正六边形沿着大正六形沿着大正六边形的形的边缘顺时针滚动，小正六，小正六边形的形的边长是大正六是大正六边形形边长的一半，当小的一半，当小正六正六边形由形由图①①位置位置滚动到到图②②位置位置时，，线段段OA绕点点O顺时针转过的角度的角度为 度 例例11（（2008年泰安市）（第年泰安市）（第19题）题）1如图，将边长为如图，将边长为1的正三角形沿的正三角形沿x轴正方向连续轴正方向连续翻转翻转2008次，点次，点P依次落在点依次落在点 的位置，则点的位置，则点 的横坐标为的横坐标为 ．． 1 1、、已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为AB的中点，CD是 ⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O 于点F. (1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论； (2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋 转过程中，E点、F点的位置也随之变化， 请你在下面两个备用图中分别画出l在不 同位置时， 使(1)的结论仍然成立的图 形，标上相应字母，选其中一个图形给 予证明.练习练习（线动型）（线动型） 综合综合题型题型 练习（图动型）练习（图动型） 【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图（1）（2）（3）对应的几何图形就是： 它们就是我们早已熟悉的基本模式“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和等于这个三角形一腰上的高”．本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形变换中的不变性”．ABCFG图15-1ABCEFG图15-2DABCDEFG图15-3练习练习 练习练习 。