周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列假设，则称数列为纯周期数列，假设，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期设{An}是整数,m是*个取定的大于1的正整数,假设Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(mod m)}假设模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期3、假设数列满足〔，且〕，则6是数列的一个周期4、数列满足〔，且为常数〕，分别为的前项的和，假设〔，〕，则，特别地：数列的周期为6，〔即：〕则5、假设数列满足，则数列是周期数列；假设数列满足，则数列是周期数列假设数列满足，则数列是周期数列特别地：数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=3数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=36、假设数列满足a+d=0,则数列是周期T=2；例：数列满足则数列是周期T=2；；三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式〔1〕数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式解析：原数列可构造成：，，，，，，…… ，它的通项公式可以写成： (n∈N)，或者写成： (n∈N)，又或者写成： (n∈N)，总结：一般的数列 a，b，a，b，a，b，…… 它的通项公式可以写成：(n∈N)〔2〕，0，1，，0，1，……的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数 进展改造，使它们能发生联系。
事实上，当 *分别为，0，，，，，……时，的值分别为，0，，，0，，……这样，0，1，，0，1，……的通项公式可以写成：所以，原数列的通项公式为 (n∈N)〔3〕数列 ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……再减去平均数5得到：，， 1， 3，，， 1， 3，……分解成两个数列：(1) ， 1， ， 1， ， 1， ， 1，…… (2) ，， 2， 2， ， ， 2， 2，…… (1)的通项公式为 易得，(2)的通项只要求出，，，，，，，，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项： (n∈N)， ∴ ，，2，2，，，2，2，……的通项为： (n∈N)，∴ ，，1，3，，，1，3，……的通项为： (n∈N)，则原数列的通项为： (n∈N)〔4〕：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式乘以(－4)得：，，，，，，，，，，，，……， 加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……，它的通项公式为：又 化简整理得： (n∈N)。
2、求数列中的项例3〔由第十四届希望杯改编〕、数列中，且对于大于的正整数，总有，则等于〔 〕． A．-5 B．-2 C．2 D．3．解析：由性质〔2〕知，数列是以6为周期的周期数列，而，再由性质〔3〕可得，应选A．例4〔上海中学数学杂志2000年的第1期〕、实数列满足〔为实数〕，()，求．解：()可变形为．我们发现与三角式十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现此题中可取=，．显然此数列的周期是6．而，再由性质〔3〕，得．3、求周期数列的前项和例5、设数列中，，且对，有=〔〕成立，试求该数列前100项和．解：由条件，对任何自然数，有=，把式中的换成，得=．两式相减得，．因为，所以．所以是以4为周期的周期数列，而，再由性质〔3〕，得．例6〔上海08质检题〕、假设数列满足，为的前项和，且，，求．解析：由及性质〔2〕，可知所以数列是以6为周期的周期数列．由，，知，，再结合，可求得，，；由递推关系式可进一步求得，，．因为，由性质〔3〕，得．4、求周期数列的极限例7、〔06北京〕在数列中，，是正整数，且，，则称为"绝对差数列〞．假设"绝对差数列〞中，，，数列满足，，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列中，．所以自第20项开场，该数列是，，，，，，，…．即自第 20 项开场，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当时，的极限不存在．当时，，所以．. z.。