精品资料欢迎下载` 第八章多元函数微分学8.1 基本知识点要求1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分， 了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性4. 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5. 熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6. 了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法8. 了解二元函数的二阶泰勒公式. 9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值， 会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题8.2 基本题型及解题思路分析题型 1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算1）基本概念①二元函数极限的定义： 设( )(, )f Pf xy的定义域为 D ,000(,)P xy是 D 的聚点. 若常数 A，对于0，总0，使得当0( , )(,)P x yDU P时，都有( )( , )f PAf x yA成立，则称 A为函数( , )f x y当00( , )(,)x yxy时的极限，记作000( ,)(,)lim( , )lim( )x yxyPPf x yAf PA或。
②二元函数的连续：设()( ,)f Pfx y的定义域为 D ,000(,)P xy为 D 的聚点，且0PD. 若0000( ,)(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy，则称( , )f x y在点000(,)P xy连续2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0lim( )PPf PA存在的定义中，0PP方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、 总结和体会二者之间的不同① 证明二元函数的极限不存在： 若0PP以两种不同的方式趋于时， ( )fP的极精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页 精品资料欢迎下载限不同，则0lim()PPf P 一定不存在（见例1） ②求二元函数的极限： 可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限， 比如：极限的局部有界性、 局部保号性、 四则运算法则、 夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例 1证明：224( , )xyf x yxy在原点0,0（）的极限不存在。
分析】观察分子、分母中变量, x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径2xky证明：2224242442000lim( ,)limlim1yyyxkyxkyxykykf x yxyk yyk，k不同，极限值就不同，故( ,)(0,0)lim( , )x yf x y 不存在评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的0PP的路径，注意总结其选择路径的规律例 2( ,)(0,0)1-coslim21xyx yxye分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化， 再进行等价无穷小代换解：( ,)(0,0)( ,)(0,0)1-cos1-coslimlim211(1)1xyxyx yx yxyxyee( ,)(0,0)( ,)(0,0)2limlim112xyx yx yxyxyexy【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子例 3设3222,( ,)(0,0)( , )0,( ,)(0,0)xyx yf x yxyx y，证明函数),(yxf在点(0,0)连续 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页 精品资料欢迎下载【分析】： 通过观察分子、分母中变量, x y的各次幂的特点， 可以看出),(yxf在(0,0)点的极限存在且为 0，但不易利用例2 中的评注直接求解，可以考虑将点( , )x y转化成极坐标来表示。
证明：3222( , )(0,0)( ,)(0,0)lim( , )limx yx yxyf x yxy2320(cossin)cos ,sinlim0(0,0)xyf( , )f x y在点(0,0)连续2. 偏导数的概念二元函数的偏导数的概念：设( ,)zf x y在点00(,)xy的某一邻域内有定义如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在则称此极限为函数( , )zf x y在点00(,)xy处对 x 的偏导数记作00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz或),(00yxfx如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000存在则称此极限为函数( , )zf x y在点00(,)xy处对 y 的偏导数，记作00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyz或 fy(x0y0)例 4设24( , ),xyf x ye则函数在原点偏导数存在的情况是A(0,0),(0,0)xyff存在存在B(0,0),(0,0)xyff存在不存在C(0,0),(0,0)xyff不存在存在D(0,0),(0,0)xyff不存在不存在（研）解：应选【 C】2400011(0,0)=limlim00xxxxxeefxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页 精品资料欢迎下载因为0011limlim100xxxxeexx，01lim10xxex故0011limlim00xxxxeexx，所以(0,0)xf不存在。
2420200011(0,0)limlimlim000yyyyyyeeyfyyy所以(0,0)yf存在故选【 C 】 评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点例 5 设22( ,)(0,0)( ,)34lim2x yf x yxyxy, 则2(0,0)(0,0)xyff（2008-北京赛） . 【分析】 为了利用偏导数的定义求出(0,0)xf和(0,0)yf，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：0( )( ),limPPf PAf PA其中00limPP解：22( , )(0,0)( ,)34lim2,x yf x yxyxy22( , )342,f x yxyxy其中( ,)(0,0)lim0,x y从而2222( ,)342()()f x yxyxyxy，2200(0,0)(0,0)320(0,0)limlim30xxxfxfxxxfxx2200(0,0)(0,0)420(0,0)limlim40yyxfyfyyyfyy故2(0,0)(0,0)642xyff评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。
3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系二元函数全微分的概念：如果函数( , )zf x y在点( xy) 的全增量(,)( ,)zf xx yyf x y可表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页 精品资料欢迎下载22( ) (()() )zA xB yoxy则称函数( , )zf x y在点( xy) 可微分而称 A x B y 为函数( , )zf x y在点( xy) 的全微分记作 dz即dzA xB y关系：偏导连续可微偏导存在；可微连续；但偏导存在可微；连续偏导存在【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中例 6 设)0,0(),(, 0)0, 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf， （1）),(yxf在（0，0）点是否连续？（ 2）求( , )xfx y； （3）),(yxf在（0，0）点是否可微；（4）( , )xfx y在（0，0）点是否连续天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义解 (1) 由夹逼准则2210( , )sinf x yxyxyxy，( ,)(0,0)lim( , )0(0,0)x yf x yf因此，故( , )0,0f x y 在（）点连续。
2) 当( ,)(0,0)x y时22222211( ,)2 sincosxxfx yxxyxyxy, 当( ,)(0,0)x y，利用偏导数的定义得00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0xxxfxffxx，故222222112 sincos,(, )(0,0)( , )0,(, )(0,0)xxxx yfx yxyxyxyx y同理可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页 精品资料欢迎下载222222112 sincos,( , )(0,0)( ,)0,(, )(0,0)yyyx yfx yxyxyxyx y(3) 为了考察),(yxf在(0,0)点是否可微，我们来考察[(0,0)(0,0)]xyzfxfy 是否为22()()xy的高阶无穷小，因为22221sin[(0,0)(0,0)]()()02()()xyx yzfxfyxyx yx yxy0(0,0)2x yxy，故0[(0,0)(0,0)]lim0xyzfxfy，即[(0,0)(0,0)()xyzfxfyo所以),(yxf在(0,0)点可微。
4）由于222222(,)(0,0 )(,)( 0,0 )11lim( , )lim(2 sincos)xx yx yxfx yxxyxyxy不存在，所以( , )xfx y 在(0,0) 点不连续评注 1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握评注 2】若),(yxf在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别),(yxf在0,0（）点是否可微，需考察[(0,0)(0,0)]xyzfxfy 是否为22()()xy的高阶无穷小评注 3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件评注 4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处例 7设函数( , )||( , )f x yxyx y, 其中( ,)x y在点 (0,0) 的一个邻域内连续, 证明: ( ,)f x y在点(0,0) 处可微的充要条件为(0,0)0 （2007-天津赛）证明： （必要性）已知x,yf在点(0,0) 处可微，故00,fx与00,fy都存在而000000 000,0limlimxxxxx,,xx,fxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页 精品资料欢迎下载其 中00|| ( ,0)|| ( ,0)lim(0,0),lim(0,0),xxxxxxxx由 于00,fx存 在 ， 故000,。
充 分 性 ） 已 知000,， 类 似 于 必 要 性 的 过 程 容 易 推 出( 0 , 0 )0 ,( 0 , 0xyff欲证x,yf在点(0,0) 处可微，只需证2222( , )(0,0)( , )(0,0)( , )(0,0)(0,0)(0,0)|| ( ,)lim=lim0.xyx yx yfx yffxfyxyx yxyxy注意到：222222||||||2xyxyxyxyxy，所以2202xyx, yx, yxy又( ,)(0,0)lim0 00x yx,y,，由夹逼定理知22( , )(0,0)lim0x yxyx,yxy从而x,yf在点 (0,0) 处可微，并且0dx,yf评注】 此题是一元函数中的重要结论“设( )x在xa点连续 ，则()||( )fxxax在xa可导的( )0a”在多元函数中的推广， 但证明过程要比一元函数复杂的多题型 2 多元函数的偏导数的计算1. 复合函数求导例 8 设函数20sin( , , )1xytF x y zdtt，则2202xyFx（2011-研）解：2sin1()Fyxyxxy，为了计算简便，由偏导数的定义，可得22222200022sin24(1 4)cos 216 sin2()414(1 4)xxxyFxxxxxxxx。
评注】0000,,,x xxxyyfxyfx y同时000( ,),,xdf x yfxydx0000,,xxyyyyfxyfx y，同时000(, ),ydf xyfxydy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页 精品资料欢迎下载利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者例 9 设xygyxxy,fz，其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶连续导数求yxzxz222, （2005-天津赛）【分析】 本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题解：gxyfyyfxz2211，gxygxyfyffygxygxyfyyfyfyyfyxz4232222111242322122111222122111gxygxfyxxyffyfgxygxfyxxfyfyfyxxfyfyxz3222311221322222122122111211111【评注 1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵常见的链式法则有：①( ),( ,)zf u ux y：,zdzuzdzuxduxyduy②( , ),( ),( )zf u v ux vx：dzz duz dvdxu dxv dx③( , ),( ,),( ,)zf u v ux y vx y：xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz④z f ( uxy)且 u( xy) ：xuuzxzdydvvzyuuzyz其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③。
评注 2】若f具有二阶连续偏导数， 则2112ff, 注意将此两项进行合并 . 例 10设)],2([2xxyfz，这里f可导且具有连续偏导数，求yzxz,. 解：xyxxyfxxxyfxz22)],2([)],2([2122)],2([)(2221xxyfyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页 精品资料欢迎下载02)],2([)],2([2122xxxyfyxxyfyz)],2([221xxyfx【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号例 11 设xuzxttxyzyxfu，求，，又),(),(),,(，uz. 解： 由上述表达式可知, x z为自变量 , 所以'''''''''''''xtyxyxxtxyxyxfffffxyffxu''''''''''yzytzzytzzuyffffffzz评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可例 12 设变换yxvyaxu2把方程0212222yzyzyxz化为20zu v， 试确定a. （2003-天津赛）。
分析】利用变量替换， 借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好,,zzzxy与中间变量,u v及自变量, x y的树形关系：解：计算一、二阶偏导数：vzuzxvvzxuuzxz，vzuzayyvzyauzyvvzyuuzyz2112，22222222vzvuzuzxz，yvzyavuzyauzyvzuzayyz1412212222222322，代入方程0212222yzyzyxz，得到0)2()41(2122222222vuzauzayzyzyxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页 精品资料欢迎下载以题意有020412aa，所以2a. 例 13设二元函数x,yu具有二阶偏导数，且0x,yu， 证明ygxfx,yu的充要条件为：yuxuyxuu2 （2009-天津赛）证明： （必要性）若ygxfx,yu，则ygxfyxuygxfyuygxfxu2，，， 显然有yuxuyxuu2充分性）若yuxuyxuu2，则0uuuuyxxy，由于0x,yu，所以02uyuxuxuyuuuxuy，即0lnxuy，因此xuln不含 y ，故可设ln uxx。
从而有yψxxudln，ddeeexx ψ yxxψ yu，即ygxfx,yu评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功2. 隐函数求导例 14 设有三元方程1lnxzeyzxy， 根据隐函数存在定理， 存在点0,1,1（）的一个邻域，在此邻域内该方程（）（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(yxzz；（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx和),(yxzz；（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zxyy和),(yxzz；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页 精品资料欢迎下载（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx和),(zxyy （2005-研）解：应选[D] 令, , )ln1,xzF x y zxyzye（显然,, )ln1xzF x y zxyzye（在0,1,1（）点的一个邻域内具有连续的偏导数导数，且0,1,1F(）=0, 而(0,1,1),1,1)20,xzxFyze（0(0,1,1),1,1)10,yzFxy（0(0,1,1),1,1)ln0,xzzFyxe（0故可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx和),(zxyy。
评注】 本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解例15设x,yzz是由xyzze所确定的二元函数，求：22xz，y2xz2010-天津赛） 分析】此例是最基本的隐函数求导问题， 可以直接利用隐函数的求导公式：zxFFxzzyFFyz，也可以方程( , , )=0x y zF两边分别对 x，y 求偏导数解 1：利用隐函数的求导公式令( , , )=z+ezF x y zxy，则由隐函数的求导公式得11xzzzFzyyxeeF，11yzzzFzxxyeeF，32222e1ee1ezzzzyxzyxz，322e1ee11e1ee1zzzzzzxyyzyyxz解 2: 将等式xyzze两边分别对 x，y 求偏导数：yxzxzze，zyxze1，xyzyzze，zxyze1，32222e1ee1ezzzzyxzyxz，322e1ee11e1ee1zzzzzzxyyzyyxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页 精品资料欢迎下载【评注】 一般地，若利用zxFFxz，zyFFyz求隐函数的二阶偏导数时，应注意到z仍然是, x y的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点。
例 16 设函数( , )zz x y是由方程11(,)0F zzxy确定的隐函数， 其中 F 具有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， 且(,)(,)0uvFu vFu v求 证 ：220zzxyxy和2223322()0zzzxxy xyyxx yy2011- 北京赛 ) 解：令11( , , )(,)G x y zF zzxy，则由隐函数的求导公式得121212121()()xzFGFzxxGFFxFF，222212121()yzFGFzyyGFFyFF，由于( , )( , )0,uvFu vFu v所以2222121222121212()0()()FFFFzzxyxyxyxFFyFFFF将等式220zzxyxy两边分别对, x y求偏导数，得到2222220zzzxxyxxy x，即222222zzzxyxxy xx2222220zzzxyyx yyy，即222222zzzxyyx yyy，将上面的第一个式子两边同乘, x 第二个式子两边同乘y ，然后相加并注意到220zzxyxy和22zzx yy x，得到2223322()0zzzxxy xyyxx yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页 精品资料欢迎下载【评注】在证明第二个等式时， 若先利用zzxy、的表达式去求三个二阶偏导数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对, x y求偏导，问题便迎刃而解了。
例 17 设),,(zyxfu，0),,(2zyx，xysin，其中,f具有连续的一阶偏导数，且0z，求dxdu. （2002-天津赛）【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量, ,u y z都为x的一元函数解：三式两端同时对x求全导数得：dxdzfdxdyffdxdu32102321dxdzdxdyxxdxdycos整理可得：321cos2xxdxdz332121cos2cosfxxfxfdxdy评注】分清函数关系后， 此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得的隐函数的导数例 18设),(),(2yvxugvyvuxfu，其中gf ,具有一阶连续偏导数，求xvxu,【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对x求偏导数即可解：方程组两端同时对x求偏导得：)2() 1()()(2121xvyvgxugxvxvfuxuxfxu由此可知，当0) 12)(1(1221gfyvgxf时有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页 精品资料欢迎下载12211221)12)(1() 12(gfgyvfxgfgyvfuxu，1221111)12)(1()1(gfgyvf xfuf xgxv.题型 3 多元函数微分学在几何中的应用1. 空间曲线的切线和法平面方程例 19 曲线0243444222zyxzyx在点)1, 1, 1 (M处的切线方程为 .（2003-天津赛）解：方程组两边对x求全导数得01 20xyyzzyz，解之得222zxyyyyxzyz，从而(1,1,1)(1,1,1)0,1yz，故(1,0, 1)T。
评注】一般地，若：( )( )( )xtytzt，则在0tt处，000(( ),( ),())Tttt；若 ：( )( )yy xzz x，则在0xx处，切向量00(1,(),())Ty xz x；若 ：( , , )0( , , )0F x y zG x y z， 则在0000(,,)Mxyz点，00(1 ,(),())Ty xz x（注意条件），此例题属第三种情形例 20 螺旋线cossin(02 )xyz上与平面0xyz平行的切线有（）（A）1 条； （B）2 条； （C）3 条； （D ）4 条.(2012- 天津赛 ) 解：应选（ B）( sin,cos,1)T，(1,1,1)n，依题意 Tn ，即sincos10，故11,2，所以12( 1,0,1),(0,1,1)TT，故切线方程为112,101011zxyxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页 精品资料欢迎下载【评注】此题的切向量属例19【评注】中的第一种情形例 21 设函数),(yxf在点0,0（）附近有定义，且(0, 0)3,(0, 0)1xyff，(0,0)3xf则(0,0)( )3A dzdxdy ；(B)曲面( , )(0,0,(0,0))3,1,1zf x yf在点的法向量为（）；()C曲线0),(yyxfz在点))0,0(,0 ,0(f处的切向量为(1,0, 3); (D)曲线0),(yyxfz在点))0,0(,0 ,0(f处的切向量为(3,0,1); （2001-研）解：应选()C函数),(yxf在点,0（0 ）的两个偏导数存在， 并不一定能保证函数),(yxf在点0,0（）可微，因此()A不正确。
由于偏导数存在不一定能保证曲面( , )zf x y在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其(0,0,(0,0))3,1,-1f在点的法向量也应为（），故(B)不正确曲线0),(yyxfz的参数方程为0( ,0)xxyzf x，从而其切向量为(1,0, 3)，故()C正确评注】此题的概念性很强， 所涉及的知识点也较多， 易犯的典型错误是选()A2. 空间曲面的切平面和法线方程例 22 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是2003-研）【分析 】 待求平面的法矢量为} 1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 , 而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定 . 解 令22),,(yxzzyxF，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页 精品资料欢迎下载xFx2，yFy2，1zF. 设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为} 1 ,2,2{00yxn，其与已知平面042zyx平行，因此有11422200yx，可解得2, 100yx，相应地有.520200yxz故所求的切平面方程为0)5()2(4) 1(2zyx，即542zyx。
评注 1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等评注 2】一般地，若曲面方程为( ,, )0F x y z，则在0000(,,)Mxyz点，切平面的法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz例 23 求曲面vzvuyvuxS2sincos:，在2,4uv处的切平面方程分析】S为曲面的参数方程，分别将2,4uv代人曲面 S的方程中，得在曲面上过点(2,2,)2的两条空间曲线方程， 这两条曲线在点(2,2,)2的切线所确定的平面就是所求的切平面解：将2,4uv代人 S的方程，得曲面上一点(2,2,)2，将2u代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程2cos2sin2xvyvzv，其切向量为1(2,2,2)T，将4v代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲线的参数方程22222xuyuz，其切向量为222(,,0)22T，从而切平面的法向量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页 精品资料欢迎下载12220(22, 2 2,1)22222ijknTT，故所求的切平面方程为2(2)2(2)()02xyz， 即2242xyz。
例 24 在椭球面1222222czbyax上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段2009-天津赛）【分析】 只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程解：设1222222czbyaxx,y,zF，切点为000(,,)xyz，202axFx，202byFy，202czFz，故该点处切平面的法向量为000222222(,,)xyznabc，切平面方程为0222020020020zzczyybyxxax，即1020202zcybxazyx依题意，有截距0020202kkzcybxa，即kczkbykax202020,,由于切点在椭球面上，故有1222222222ckcbkbaka，即1222222kckbka，从而解得222cbak，于是有222202222022220cbac,zcbab,ycbaax切平面方程为222cbazyx题型 4 与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题例 25 设函数( )f u可微, 且102f, 则224zfxy在点(1,2) 处的全微精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页 精品资料欢迎下载分1,2dz（研）解：22(1,2)(1,2)18(4)842zx fxyx，22(1,2)(1,2)2(4)2zy fxyy，1,2(1,2)(1,2)d42zzzdxdyxdyxy。
评注】一般地，若,,zfx y则00001,2(,)(,)dxyxyzzzdxdyxy；若, ,,ufx y z则000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)duxyzxyzxyzxyzuuudxdydzxyz例 26. 设函数),(yxzz由方程2xyzxexyz所确定，则dz（2006-天津赛） . 解 1: 令( , , )=2zyxF x y zzyxxe，则由隐函数的求导公式得1111zyxz yxz yxzyxxzyxzyxzFzexeexexxexeF，11111z yxzyxyzyxzyxzFzxexeyxexeF故1d1zyxzyxzyxzzexezdxdydxdyxyxe解 2： 由全微分形式不变性，得()0zyxz yxdzdydxedxxedzdydx，故1d1zy xzyxzyxexezdxdyxe评注】求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得dz，也可以利用全微分形式不变性得 dz例 27 函数)ln(22zyxu在点)1 ,0, 1(A处，沿点 A指向点)2, 2,3(B方向的方向导数为（2005-天津赛） 。
解：22(1,0,1)(1,0,1)112uxxyz，2222(1,0,1)(1,0,1)10uyyxyzyz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页 精品资料欢迎下载2222(1,0,1)(1,0,1)112uzzxyzyz，(2, 2,1)lAB，221cos,cos,cos,333(2, 2,1)(2,2,1)(2,2,1)(2, 2,1)1coscoscos2fuuulxyz评注】一般地，000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl，000000000000(,,)(,,)cos(,,)cos(,,)cosxyzxyzffxy zfxyzfxyzl， 其 中c o s, c o s, c是向量l的方向余弦例 28. 函数( ,)arctanxfx yy在点(0,1)处的梯度等于2008-研）解：222(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)11,01( )1()xffyyxxxyyy，所以(0,1)(0,1)(0,1)ffgradfijixy评注】一般地，000000(,)((,),(,))xygradfxyfxyfxy；000000000000(,,)((,,),(,,),(,,))xygradfxyzfxy zfxyzf xyz。
例 289 求, ,a b c的值，使函数232( , , )f x y zaxybyzcx z在点(1,2, 1)M处沿z轴正方向的方向导数有最大值64. 解：2223( , , )3,( , , )2,( , , )2xyzfx y zaycx zfx y zaxybz fx y zbycx z ，(1,2, 1)43 ,(1,2, 1)4,(1,2, 1)22xyzfac fab fbc，设(1,0,0)l，则cos1,cos0,cos0，故(1,2, 1)(1,2, 1)cos(1,2, 1)cos(1,2, 1)cosxyzffffl43ac，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页 精品资料欢迎下载由 方 向 导 数 与 梯 度 的 关 系 知 ， 当( 1 , 0 ,l的 方 向 与 梯 度( 1 , 2 ,1 )( 43, 4g r a d facabbc的方向一致时，方向导数达到最大值据题意有436440220acabbc，故4,16abc评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。
题型 5 与多元函数极值有关的题例30已 知 函 数(,)fxy在 点 (0,0)的 某 个 邻 域 内 连 续 ， 且222( ,)(0,0)( , )lim1()x yf x yxyxy，则(A) 点(0,0) 不是( , )f x y的极值点； (B) 点(0,0) 是( , )f x y的极大值点；(C) 点(0,0) 是( ,)f x y的极小值点； (D) 无法判断点 (0,0) 是否为( ,)f x y的极值点 . （研）【分析】 由题设，容易推知(0,0)0f，因此点 (0,0) 是否为( ,)f x y的极值，关键看在点 (0,0) 的充分小的邻域内( , )f x y是恒大于零、恒小于零还是变号. 解：应选（ A）由1)(),(lim222)0,0(),(yxxyyxfyx知，分子的极限必为零，从而有(0,0)0f, 且222222( , )()[() ]f x yxyxyo xyyx,(充分小时），于是].)[()()0 ,0(),(222222yxoyxxyfyxf特殊地，当xy且 x 充分小时，04)0 ,0(),(42xxfyxf； 而当xy且 x充分小时，04)0 ,0(),(42xxfyxf. 故点(0,0) 不是( , )fx y的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度 . 极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例5 的评注） 。
例 31 设函数( , )zf x y的全微分为dzxdxydy，则点（ 0，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页 精品资料欢迎下载（A）不是( , )f x y的连续点 ；（B）不是( , )fx y的极值点；（C）是( , )f x y的极大值点 ；（D）是( , )f x y的极小值点解; 应选（ D ）因dzxdxydy可得,zzxyxy，221zAx，20zBx y，221zCy，又在（ 0，0）处，0,0zzxy，210ACB，10A，故（ 0，0）为函数( , )zf x y的一个极小值点评注】此题主要考察了极值的充分条件：设函数( , )zf x y在点00(,)xy的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又0000(,)0,(,)0xyfxyfxy， 令000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyA fxyB fxyC，则① AC B2>0时具有极值且当 A<0时有极大值当 A>0时有极小值② AC B2<0时没有极值③ AC B20 时可能有极值也可能没有极值 例 32 设 z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz的极值点和极值 . 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，为此先求出一阶偏导数，再令其为零即可确定驻点，然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点，并求出相应的极值. 解：因为0182106222zyzyxyx，方程两边分别对, x y求导数得02262xzzxzyyx，0222206yzzyzyzyx. 令0,0yzxz得,0103, 03zyxyx故.,3yzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页 精品资料欢迎下载将上式代入0182106222zyzyxyx，可得3, 3, 9zyx或.3,3,9zyx由于02)(22222222xzzxzxzy，, 02222622yxzzxzyzyxzyxz02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，对于驻点)3 ,3 ,9(，61)3, 3,9(22xzA，21)3, 3,9(2yxzB，35)3, 3,9(22yzC，故03612BAC，又061A，从而点 (9,3) 是 z(x,y) 的极小值点，极小值为 z(9,3)=3. 对于驻点)3,3,9(，类似地，由61)3,3, 9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3, 3,9(22yzC，可知03612BAC，又061A，从而点 (-9, -3)是 z(x,y) 的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论了隐函数求极值问题，关键是：求可能的极值点时应注意, ,x y z满足原方程，当然也可以利用公式xzFzxF及yzFzyF求两个偏导数，但由于此题需要求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值，故在求,,A B C时，还是用此例的方法运算量小。
例33 设),(yxf有 二 阶 连 续 偏 导 数 , ),(),(22yxefyxgxy, 且)) 1((1),(22yxoyxyxf, 证明),(yxg在)0,0(取得极值 , 判断此极值是极大值还是极小值 , 并求出此极值 . （2008-北京赛）【分析】 为证明),(yxg在)0,0(取得极值 , 必须找出),(yxg在)0 ,0(的各个二阶导数，为此需求出( ,)f x y在(1,0)点的一阶偏导数，由已知条件自然会想到利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页 精品资料欢迎下载微分的概念解 ：因为))1(() 1(),(22yxoyxyxf, 由全微分的定义知0)0, 1(f，1)0 ,1 ()0, 1(yxff. xfyefgxyx221，yfxefgxyy221，0)0,0(xg，0)0 ,0(yg21112121222(2 )(2 )22xyxyxyxyxxgfe yfx e yfe yfe yfxxf，xyfxefexyefyeyfxefgxyxyxyxyxyxy2)2()()2(222111211，21112121222(2 )(2 )22xyxyxyxyyygfe xfy e xfe xfe xfyyf ，2(0,0)2(1,0)2,xxAgf1)0, 1()0 ,0(1fgBxy2)0, 1(2)0, 0(22fgCy032BAC, 且0A, 故0)0, 1()0 ,0(fg是极大值 . 【评注】此题考察了全微分的概念、 复合函数的导数和极值的充分条件，是概念性、综合性较强的题，当然在求二阶偏导数时，也可以利用偏导数的定义，事实上，这样做运算量会更小。
例 34设二元函数),(yxu在有界闭区域D 上可微，在D 的边界曲线上0),(yxu，并满足),(yxuyuxu，求),(yxu的表达式 . （2005-天津赛） 分析】 此题乍看好像无从下手， 但题设条件：在 D 的边界曲线上0),(yxu给了我们思路，不妨大胆假设处处有0),(yxu，然后用反正法证之解：显然0),(yxu满足题目条件 . 下面用反证法证明只有0),(yxu满足题目条件 . 事实 上， 假设),(yxu不恒等 于 0，则至少存在一点Dyx),(11，使得0),(11yxu，不妨假设0),(11yxu，由于),(yxu在有界闭区域 D 上可微，从而在有界闭区域 D 上连续，也必在 D 内至少存在一点),(00yx，使0),(00Myxu为),(yxu在 D 上 的 最 大 值 . 因 为),(yxu在 D 上 可 微 ， 所 以 必 有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页 精品资料欢迎下载),(),(00000yxyxyuxu， 于 是 得 到0),(),(0000yxyxyuxu. 然 而 ， 由 题 设 知),(yxuyuxu，因此应有0),(00yxu，这与0),(00Myxu的假设矛盾；同理可证0),(11yxu的情况 . 因此可知在 D上0),(yxu。
评注】 此题的理论性、 概念性比较强，主要考察了函数可微与偏导数存在、连续的关系及极值的必要条件：设函数( , )zf x y在点00(,)xy具有偏导数且在点00(,)xy处有极值则有00(,)0xfxy，00(,)0yfxy，注意极值的必要条件是重要考点例 35 设( , )( , )f x yx y与均为可微函数，且( , )0yx y，已知00(,)xy是( ,)f x y在约束条件( , )0x y下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0xfxy， 则00(,)0yfxy. (B) 若00(,)0xfxy， 则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. （2006-天津赛）【分析】 利用二元函数条件极值的拉格朗日乘子法解：应选(D) 作拉格朗日函数( ,,)( , )( ,)F x yf x yx y，并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,,)0(,,)0xyFxyFxy， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxy . 因为( , )0yx y，将00000(,)(,)yyfxyxy代人第一个方程 , 得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy. 因此若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. 故应选（ D）. 【评注】条件极值的拉格朗日乘子法是重要考点，一般它有以下几种情形：①求函数( ,)zf x y在条件( ,)0x y下取得极值的必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页 精品资料欢迎下载可构造拉格朗日函数：( , , )( , )( ,)L x yf x yx y令( ,,)( ,)( , )0( , ,)( , )( ,)0( , ,)( , )0xxxyyyLx yfx yx yLx yfx yx yLx yx y，解之可得驻点。
②求函数( ,, )uf x y z在条件( , , )0x y z下取得极值的必要条件 , 可构造拉格朗日函数：( , ,, ,)( , , )( , , )L x yzf x y zx y z③求函数( ,, , )uf x y z t在条件( , , , )0( , , , )0x y z tx y z t下取得极值的必要条件可构造拉格朗日函数：( , ,, , , ,)( , , , )( , , , )( , , , )L x yz tf x y z tx y z tx y z t例 36 在椭球面122222zyx上求一点，使函数222),,(zyxzyxf在该点沿方向jil的方向导数最大 . （2004-天津赛）解：函数),,(zyxf的方向导数表达式为：coscoscoszfyfxflf其中：21cos，21cos，0cos为方向l的方向余弦 . 因此)(2yxlf由题意即求函数)(2yx在条件122222zyx下的最大值 . 设)122()(2),,,(222zyxyxzyxF令222240240202210FxxFyyFzzFxyz解 之 得0z以 及21yx， 即 得 驻 点 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页 精品资料欢迎下载)0,21,21(1M与)0,21,21(2M. 因最大值一定存在，故只需比较21Mlf，22Mlf的大小，由此可知111(,,0)22M即为所求 . 【评注】此例属于例 35 中的【评注】②例 37 求( ,)f x y222yx在椭圆域} 14),{(22yxyxD上的最大值和最小值 . 【分析】( , )f x y在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到， 且在边界上的最值又转化为求条件极值或一元函数在闭区间上的最值问题 . 解 ： 令02,02yyfxxf得可能极值点为0,0xy， 而(0,0)2f再考虑其在边界曲线1422yx上的情形方法 1：利用拉格朗日函数乘子法设)14(),(),,(22yxyxfyxF，令,014,02122, 0)1 (2222yxFyyyyfFxxxfFyx得 可 能 极 值 点4,2,0 yx；4,2,0 yx；1,0, 1 yx；.1,0,1 yx代入( , )f x y得,2)2, 0(f3)0, 1(f，比较(0,0)2f，, 2)2,0(f3)0, 1(f这 三 个 值 的 大 小 ， 可 得( , )zf x y在 区 域} 14),{(22yxyxD上的最大值为 3，最小值为 -2. 方法 2：将条件极值转化为非条件极值，问题化为求一元函数在闭区间上的最值问题。
精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页 精品资料欢迎下载将2244xy代入22( ,)2f x yxy，得222( )( , )(44)252h xf x yxxx( 11)x，令( )100h xx，得驻点0x，比较(0)2, ( 1)3, (1)3hhh，得( , )f x y在 D的边界上的最大值为( 1)3, (1)3hh，最小值为(0)2,h将这两个值再与(0,0)2f比较，可得( ,)zf x y在区域} 14),{(22yxyxD上的最大值为 3，最小值为 -2评注】求二元函数( , )zf x y在闭区域 D 上的最值的步骤：①令( ,)0( , )0xyfx yfx y，得驻点00(,)xy为( , )f x y在闭区域 D 内可能的极值点②求出( , )zf x y在闭区域 D 的边界上可能的极值点，将之记为11(,)xy. ③求出0011(,)(,)f xyf xy及，比较这些点的函数值， 最大者即为最大值， 最小者，就是最小值例 38. 试求22:0,03zxyxyxyDxyxy在闭域及上的最大值与最小值。
( 研) 解. 令012012xyyzyxxz, 解得1,1 yx, 1)1, 1(f. 当 x = 0 时, yyz2在[ －3, 0] 上的最大值为6)3,0(f, 最小值为41)21,0(f当 y = 0 时, xxz2在[ －3, 0] 上的最大值为6)0 ,3(f最小值为41)0 ,21(f, 当3yx时，将3yx代人目标函数中得6932xxz，[ 3,0]x，当23x时 z 有最小值43z. 即43)21,21(f当0x时 z 有最大值6z. 即6)3,0(f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页 精品资料欢迎下载当3x时 z 有最大值6z. 即6)0 ,3(f比较上述各个函数值得：)3,0(f=6)0 ,3(f为最大值 , 1)1, 1(f为最小值. 【评注】此题的边界由三段直线组成，需分别讨论例 39 设圆222xyy含于椭圆22221xyab的内部 , 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点圆与椭圆都有公共切线). (1) 求a与b满足的等式 ; （2) 求a与 b的值, 使椭圆的面积最小 . （2011-天津赛）。
分析】由圆和椭圆的图形及已知条件可知：切点不在y 轴上，利用题设容易求出第一问，而第二问属于条件极值问题， 显然第二问需要利用第一问的结论解 ：(1)设圆与椭圆相切于点00(,)xy, 则00(,)xy既满足椭圆方程又满 足 圆 方 程 , 且 在00(,)xy处 椭 圆 的 切 线 斜 率 等 于 圆 的 切 线 斜 率 , 即2002001b xxa yy. 注意到00,x因此, 点00(,)xy应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1xyabxyyba yy由(1) 和(2) 式, 得222200220.bayyab(4) 由 (3) 式得2022.byba代入(4) 式2242222222220.()babbabbaba化简得2222,baba或22420.a bab (5) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页 精品资料欢迎下载 (2) 按题意, 需求椭圆面积 Sab在约束条件 (5) 下的最小值 . 构造函数2242( , ,)().L a baba bab令2322242(24)0(6)(22 )0(7)0(8)abLbabaLaa bbLa bab(6)(7)ab , 并注意到0, 可得242ba. 代入 (8) 式得644220aaa, 故6.2a从而23 22.2ba由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当63 2,22ab时, 此椭圆的面积最小 . 例 40 设22{(,):1 },( ,)Dx yxyf x y在 D 内连续，( ,)g x y在 D 内连续有界，且满足条件：（1）当221xy时，( ,)f x y， （2）在 D 内f与 g 有二阶连续偏导数，22222222,fgffggeexyxy，证明：( ,)( ,)f x yg x y在 D 内恒成立（首届 - 全国决赛） 。
分析】关于多元函数不等式证明的方法不多，直接正面证明此题显然不好下手，可以考虑用反证法，再设法利用条件（1） （2）推出矛盾证明： 假设在 D 内至少存在一点，使得( ,)( ,)f x yg x y令( ,)( , )( ,)F x yf x yg x y，据题设条件当221xy时，( ,)f x y，又( ,)( , )( , )F x yf x yg x y在半径小于 1 的任何闭区域上都连续， 故( , )F x y在 D内必有最小值，设最小值在00x ,yD 达到，这样，据反正假设，我们有000000()()()0F x , yfx , yg x , y，另一方面，我们又有222222222222fgFFffggeexyxyxy在 D 内处处成立，特别地有：(,)00000000222222(,)222222()()fxyfxygxxxxyyyyFFffggeexyxyxy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页 精品资料欢迎下载从而有(,)00000022(,)22()0fxyfxygxxyyFFeexy，但是00x ,y为( , )F x y的最小值点，由极值的充分条件知必有，000022220,0x xxxyyyyFFACxy且，否则若0,0AC， 便会有2-0AC B， 从而00x ,y不是( , )F x y的极值点，这与00x ,y为( ,)F x y的 最 小 值 点 矛 盾 ， 所 以 有002222()0xxyyFFxy， 这 又 与(,)00000022(,)22()0fxyfxygxxyyFFeexy矛盾，假设错误，故( ,)( ,)f x yg x y在 D 内恒成立。
评注】此题理论性较强， 用到了闭区域上连续函数的性质和极值的充分条件，难点是它把极值的充分条件反着用8.3 历年考研和竞赛真题 （注：知道出处的， 标出出处；选题顺序的第一原则是：填空；选择；计算或证明；第二原则：按知识点的顺序）一、填空题1. 设函数( , )f u v由关系式(( ),)( )f xg yyxg y确定，其中函数 g( y)可微，且 g(y) 0 ，则vuf2(研) 2. 已知xyyzx，则)2, 1(xz（研）3. 设2e),,(yzzyxfz，其中),(yxzz是由方程0xyzzyx所确定的隐函数，则)1, 1 ,0(yf （03市）4. 设( , )f u v具有二阶连续偏导数， z=( ,)f x xy则2zx y= （研）5. 设)()(1yxyxyfxz，其中f、具有二阶连续导数，则yxz2（2004-天津赛）6. 由方程2222zyxxyz所确定的函数),(yxzz在点) 1,0 , 1(处的全微分 dz .（2004-天津赛）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页 精品资料欢迎下载7．设函数( , )zz x y由方程(,)0y zFx x确定，其中 F 为可微函数， 且0,zF则zzxyxy。
2010- 研) 8.设( ,)zf x y在点(0,的某一邻域内可微，且( ,1)123()f x yxyo， 其中22xy ，则由方程( , )1f x y所确定的函数在0d0_______.d|xyxx在处的导数（2007-北京赛）9. 由曲线0122322zyx绕 y轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量为 .（2006-天津赛）10. 曲 线022401223:L22222zy--zyxz--yx在 点（ 1， 1， 2） 处 的 切 线 方 程为 （2007-天津赛）11. 设),,(wvuF是可微函数，且6)2,2,2(,3)2, 2,2()2 ,2, 2(vwuFFF，曲面0),,(xzzyyxF过 M （1，1，1）点，则过这点的法线方程为（研）12. 函数)ln(22zyxu在点)1 ,0 , 1(A处，沿点 A指向点)2,2, 3(B方向的方向导数为 . （2005-天津赛）13. 设22yxyxz在 点)1, 1(处 沿 方 向) 1,2(51l的 方 向 导 数lz（2002-天津赛）14. 函数222zyxu在点 M(1,1,1,)处，沿曲面222yxz在该点的外法线方向 l 的方向导数1 ,1 , 1lu。
（2008-天津赛）15，函数zxyu2在2,1, 1P处沿什么方向方向导数最大？并求此方向的方向导数 . . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 37 页 精品资料欢迎下载二、选择题1. 考虑二元函数x,yf在点00,yx处的下面四条性质：①连续；②可微；③00,yxfx与00,yxfy存在；④x,yfx与x,yfy连续若用“ PQ ”表示可由性质P推出性质 Q ，则有（）（A）②③①；（B）④②①；（C）②④①；（D ）④③② （2007-天津赛）2. 二元函数),(yxf在点（ 0，0）处可微的一个充分条件是（）（A）0)0 ,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx；（B）0)0, 0(),(lim22)0,0(),(yxfyxfyx；（C）,0)0 ,0()0,(lim0xfxfx且0)0,0(),0(lim)0,0(),(yfyfyx；（D）0)0,0()0 ,(lim''0xxxfxf，且0)0,0(),0(lim''0yyyfyf （研）3. 设0,00,222222yxyxyxxyz，则),(yxzz在点)0,0(（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在；（D ）不连续但偏导数存在（2002-天津赛）4. 数xyyxf),(，在点)0 ,0(处),(yxf（）（A）连续，但偏导数不存在；（B）偏导数存在，但不可微；（C）可微； ；（D）不连续且偏导数不存在。
(2004- 天津赛 ) 5. 设函数yxfz,在点00,yx处有byfaxf,yx,yx0000,，则下列结论正确的是（）（A）x,yfyyxx00lim存在，但x,yf在00,yx点处不连续；（B）x,yf在00,yx点处连续；（C）ybxazddd；（D）,yxfx,yfyyxx0000lim,lim都存在，且相等2008-天津赛）6. 设x,yF具有 2 阶连续偏导数，000,yxF，000,yxFx，000,yxFy若xyy是由方程0x,yF所确定的在点00,yx附近的隐函数，则0x是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页 精品资料欢迎下载xyy的极小值点的一个充分条件为（）（A）000,yxFxx；（B）000,yxFxx；（C）000,yxFyy；（D）000,yxFyy（2009-天津赛）7. 在 平 面 有 界 闭 区 域 D 上 具 有 二阶 连 续 偏 导 数 ， 且满 足02yxu及02222yuxu，则（）（A）),(yxu的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上；（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）),(yxu的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部。
（2001-天津赛） 8.设 函 数( )f x具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且( )0,(0)0,f xf则 函 数() l n()zfxfy在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（A）01,(0)0ff；（B）01,(0)0ff；（C ）01,(0)0ff；（D）01,(0)0ff（2011-研）三、解答题1. 求( 1 )22)0, 0(),(limyxxyyx( 2 )42lim)0,0(),(xyxyyx2. 已知函数( )f u具有二阶导数，且(0)1,f函数( )yy x由方程11yyxe所确定，设(lnsin)zfyx，求2002,xxdzd zdxdx （2007-研） 3. 设( , )f u v具有二阶连续偏导数，且满足22221ffuv，又221( , )(,()2g x yf xyxy, 求2222ggxy研）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页 精品资料欢迎下载4. 设函数),(yxu的所有二阶偏导数都连续，2222yuxu且xxxu)2,(，21)2,(xxxu，求)2,(11xxu. （2001-天津赛） . 5. 设),(vuf有 一 阶 连续 偏 导 数，))cos(,(22xyyxfz，cosx，siny，证明：1cossin2sin()zzzzxyxyuv. ） （2006天津赛）6. 设,zz x y , 变量23uxyvxy且2222260zzzxx yy那么2zu v。
2009-北京赛）7. 设二元函数x,yzz具有二阶连续偏导数， 证明：0222222yzyxzxz可经过变量替换zxyy,wxy,vxu化为等式01222uw （ 2008-天津赛） 8.设x,yzz是由xyzze所确定的二元函数，求：22xz，y2xz（2010-天津赛）9. 设,zz x y 是由方程22xyzxyz 所确定的函数， 其中具有2 阶导数且1时，求 (1) dz； （2）记1,zzu x yxyxy，求ux10. 已知曲面22241xyz上点 P 处的切平面平行于平面1xyz，求切平面的方程2012-天津赛）11 求λ的值，使两曲面：λxyz与1222222czbyax在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程 （2008-天津赛） 12. 设二元函数 F 可微，试证明由方程0),(czbyczaxF所确定的曲面的任一切平面都通过某定点13.求曲线32,,tztytx上一点，使该点处曲线的切线平行于平面42zyx，并写出切线的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 37 页 精品资料欢迎下载14.求曲面21xy与曲面32zx的交线上一点，使交线在该点处的切线平行于已知直线241zyx，并求交线在该点处的法平面. 15.求曲线2222yxzxyez在点)0, 1, 1(处的切线与法平面 . 16. 设函数yxf,具有连续的偏导数，对任意的yx,恒有2, yxgradf.记221( , )(,()2F u vf uvuv，试确定常数ba,使2222()()FFabuvuv。
17. 求2222),(yyxxyxf在1),(22yxyxS上的最大值与最小值 .（2002-天津赛）18. 已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线 C 距离 xoy面最远的点和最近的点2008-研）19. 求函数222uxyz在在约束条件22zxy和4xyz下的最大和最小值 . 20. 求过第一卦限中的点( , , )a b c的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小2007-天津赛） 21. 求二元函数22( , )(2)lnf x yxyyy极值（ 2009-研） 22. 设2221222:1xyzabc， 其中22220,:abczxy， 为1和2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值第二届- 全国赛 - 决赛） 23. 求3( ,)()3xyxf x yye的极值 （2013-研）参考答案：一 、 1 ．2( )( )g vgv（ 提 示 ： 令() ,ux gyvy， 则( )( , )( )g vf u vg vu） ；2.2(ln 21)2；3. e2；4.12222xffxyf；5.)()()(yxyyxxyfy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页 精品资料欢迎下载6. dydx2；7. zzxyxy122yFzFxF12yFzF；8.23（提示：先利用全微分的定义和公式求出(0,1),(0,1)xyff，再利用隐函数的求导法则）；9.1(0,2,3)5；10.524111zyx；11.111211xyz；12.21；13.35；14.31；15.沿1 ,4,22 ,1,1gradu方向的方向导数最大，最大方向导数为2111642, 1, 1gradu。
二、1.( B)；2. （B）；3. （D） ；4. (B)；5. (D ) ；6. （B） ；7. （B） ；8.（A） （提示：利用二元函数极值的充分条件） ；三、 1. （1） 0 （提示： 用夹逼准则），（2） -4 ； 2.1,1 ； 3. 22xy； 4．xxxu34)2( ' '11，；5. 略； 6.0 ； 7. 提 示 ：由 题 意 可 先 解 得22vu,yvux， 从 而22422vu,vuzvuw；8.31e1e1ezzzxy；9.221x dxy dydz，22(12 )(1)uxx；10.12()(1)(1)02xyz；12()(1)(1)02xyz；11. 9.33333abc;λc,zb,yax；3czbyax；12. 略；13．切点为：) 1, 1, 1(或)271,91,31(切线方程为：312111zyx或312713291131zyx；14.切点为：(2,3, 1)，切平面：1624zyx；15．11114xyz；04zyx；16. 11,44ab；17.(, )4 3max( ,)19x ySf x y；( ,)4 3min( , )19x ySf x y； 18. 最远点( 5, 5,5)，最近点(1,1,1)（提示：利用例35 的【评注】 3） ；19. 最小值为6，最大值为72；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 37 页 精品资料欢迎下载20.1333czbyax；21. 极小值110,fee；22. 最大值为2244bcbcbc，最小值为2244acacac（提示：先求交线上的切平面方程，再求原点到切平面的距离，最后利用例 35 的【评注】 3 得驻点，通过比较两个驻点处函数值的大小，得距离的最大值和最小值） 。
23. 极小值点为4(1,),3极小值为13e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页 。