七年级数学正数与负数知识精讲精练 人教义务代数【学习目标】1．了解有理数的意义，能识别正数与负数．会用正数与负数表示相反意义的量．2．知道零是一个特殊的数，并能举出实例，说明它的意义．3．掌握有理数的分类方法，即以正数、负数、零分类和以整数、分数分类．【主体知识归纳】1．正数 大于零的数，叫做正数．其实质就是小学学过的数(0除外)前面加上“＋”号的数是正数，如＋3、＋、＋7等．(正号“＋”也可省略不写，如＋5也可表示为5)2．负数 正数前面加上“－”号的数．如－3、－2、－等．注意：“－”号不能省略．3．零 既不是正数，也不是负数．4．整数 正整数、零、负整数统称整数．5．分数 正分数、负分数统称分数．6．有理数 整数和分数统称有理数．【基础知识讲解】1．伴随着量的度量和计算，便产生了正数和负数．如盈亏问题中，盈记为正，亏则记为负．为了简便地表示现实生活以及生产中的量，数的概念就由算术数(自然数和分数)扩充到了有理数．这同样也是数的运算本身的自然演变．这样，具有相反意义的量，就可以用有理数连同度量的单位来表示．2．在今后的学习中，一提到有理数，就应立刻想到它包括五类数：正整数、负整数、零(即整数)以及正分数、负分数(即分数)．3．有理数的概念及分类，是本节的重点内容之一．有理数的两种分类方法如下：(1)有理数分为整数和分数．整数分为正整数、零、负整数；分数分为正分数和负分数．即：(2)有理数分为正有理数、零和负有理数．正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数．即：4．如果把整数看作分母是1的分数(如3＝)，那么有理数都可以表示成既约分数的形式．这是有理数的一个本质特征．一般用 (p、q为整数，p≠0，且p、q互质)表示有理数．5．零的意义．过去表示“没有”；在学习了具有相反意义的量以后，零具有了更丰富的内容．例如，在温度计上，0℃不表示没有温度，而是表示冰点，是一个确实的温度．当然，零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界，且它属于整数．【例题精讲】例1 填空题(1)如果零上3℃记为＋3℃，那么－7℃表示的意义是_________；(2)如果下降3米记为－3米，那么上升5米应记为_________；(3)如果前进5千米，记为＋5千米，那么后退6千米应记为____________； (4)高出海平面342米记为＋342米，那么－20米表示的是_________；(5)支出10元人民币记账为－10元，那么＋20元表示的意义是_______； (6)某仓库运出货物20千克记为－20千克，那么运进35千克货物应记为_________； (7)某钢厂增产12吨钢记为＋12吨，那么减产3吨应记为_________．剖析：(1)零上3℃规定为＋3℃，即“＋”号表示“零上”，那么与它相反意义的量“零下”就规定为“－”．(2)本小题的“－”号表示“下降”，因此，“上升”应记为“＋”，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负．(3)～(7)小题类似．答案：(1)零下7℃ (2)＋5米 (3)－6米 (4)低于海平面20米 (5)收入20元人民币(6)＋35千克 (7)－3吨说明：本题里的各小题中的“零上、上升、前进、高出、收入、运进、增产”表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示．例2 把下列各数填在相应的集合内：15，－6，＋2，－0．9， ，0，0．23，－1，．正数集合{ …}；负数集合{ …}；正分数集合{ …}；负分数集合{ …}；整数集合{ …}；有理数集合{ …}．剖析：此题主要考查学生对数的分类能力．正数包括正整数和正分数；负数包括负整数和负分数；正分数包括正分数本身外，还有正的小数；同样，负的小数也属于负分数；整数包括正整数、负整数和零；有理数包括整数和分数．解：正数集合{15，＋2，，0．23， ，…}；负数集合{－6，－0．9，－1，…}；正分数集合{，0．23， ，…}；负分数集合{－0．9，－1，…}；整数集合{15，－6，＋2，0，…}；有理数集合{15，－6，＋2，－0．9， ，0，0．23，－1，，…}．说明：在有理数中，一个数可以有多重“身份”．如：15和＋2，它们既是正数也是正整数；像，0．23， 既是正有理数，还是分数，且是正分数．另外，填整数集合时，不要漏掉“0”．填集合时通常最后要加省略号．例3 在－4，－3，－2，－1，0，1，2各数中，所有的非负整数组成集合M，所有的非正整数组成集合N．分别写出集合M与N．在M与N中，有无相同的数？剖析：由已知得M是由0，1，2这3个数组成的集合，N是由－4，－3，－2，－1，0这5个数组成的集合．两集合中有相同的数是0．解：M＝{0，1，2}；N＝{－4，－3，－2，－1，0}．说明：此题主要考查的是“0”既不是正数，也不是负数这一特殊性质．“0”的这种特殊性还体现在其他的很多方面，在今后的学习和解题中应特别注意“0”的这一特殊性．另外，集合M与N都是由有限的数组成的集合，所以在书写时，不用加省略号．【同步达纲练习】1．判断题(1)正数都带“＋”号． (2)不带“＋”号的数都是负数． (3)小学中学过的数都可以看作是正数． (4)一个有理数不是正的就是负的． (5)有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数． (6)整数都是正整数． (7)有理数包括整数和分数． (8)不是整数就不是正整数． (9)负分数一定是负有理数． (10)有理数是指自然数和负整数． 2．填空题(1)比0℃高5℃的温度是__________，比0℃低3℃的温度是_________．(2)比海平面高200 m的地方，它的高度记作海拔_______m，比海平面低50 m的地方，它的高度记作海拔_________m．(3)比海平面高5 m记作＋5 m，比海平面低5 m记作________．如果A点表示－39 m，表示A点________，B点表示－65 m，表示B点________．A点和B点中，________点的位置较高．(4)篮球比赛时，如果输8分记作－8分，那么赢12分记作________分．(5)整数应包括__________．(6)－8属于_________集合，也属于________集合，还属于________集合．3．选择题(1)下列说法中正确的是 A．在有理数中，0的意义仅表示没有B．－3米一定表示下降3米或后退3米C．有理数可分为正有理数、负有理数两大类D．一个数是分数，则它一定是有理数(2)－是一个有理数，则它一定是 A．负数B．正数C．负数或正数D．负数、正数或零(3)在有理数－3，0，，－，2．5中，属于非负数集合的个数有 A．4B．3C．2D．1(4)下列说法中，错误的是 A．－a一定是负数B．自然数一定是整数C．2．1是正分数D．负分数一定是有理数(5)在下列各集合内，所填的数正确的是 A．{3，2．5，…}正数集合B．{0，－3，－2．5，…}非负数集合C．{－3．5，5， ，…}分数集合D．{3，－5，…}整数集合(6)关于零的说法正确的是 A．不是正数也不是负数B．是正数C．是负数D．是正整数(7)把一个负数前面的“－”号去掉，就得到一个 A．负数B．任意数C．一个非正数D．正数(8)下面说法正确的是 A．一个有理数不是正的就是负的B．一个有理数不是整数就是分数C．有理数是指正有理数和负有理数D．有理数是指负整数和自然数4．商品出售袋装白糖，按标准每袋应重503 g．如果一袋白糖重502 g，就记作－1 g．假如一袋白糖重505 g，那么应记作什么？其实际含义是什么？5．A、B两地与海平面的相对高度如图2—1所示．试用正、负数表示A、B两地的高度．图2—16．把下列各数分别填在相应的大括号内：－3．07，－22，3．14，－1，0，＋8，－4，． (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}；(3)正数集合{ …}； (4)负数集合{ …}；(5)正整数集合{ …}； (6)负整数集合{ …}．7．各种螺丝钉的尺寸都有各自的规定，如果一个螺丝钉的直径比规定的尺寸大0．01 mm，通常记作＋0．01 mm，那么比规定的尺寸小0．03 mm，应该记作什么？0 mm表示什么意义？8．在乒乓球比赛中，规定五局三胜．若小辉胜了3局，记作＋3，那么对手小强输了______局，记作________．【思路拓展题】“±1”的妙用桌上放着8只茶杯，全部杯口朝上，每次翻转其中的4只，只要翻转两次，就把它们全都翻成杯口朝下．如果将问题中的8只改为6只，每次仍然翻转其中的4只，能否经过若干次翻转把它们全部翻成杯口朝下？请你动手试验一下．提示：用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，请填出翻转次数及过程．初始状态＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1．第一次翻转－1，－1，－1，－1，________，__________．________ __________________________________ __________________________……参考答案【同步达纲练习】1．(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)√ (8)√ (9)√ (10)×2．(1)＋5℃ －3℃ (2)＋200 －50 (3)－5 m 比海平面低39 m 比海平面低65 m A (4)＋12 (5)正整数、负整数和零 (6)整数 负整数 负有理数3．(1)D (2)C (3)B (4)A (5)A (6)A (7)D (8)B4．＋2 g 超过标准重量2 g．5．A点＋384米 B点－135米6．(1){－1，0，＋8，…}；(2){－3．07，－22，3．14，－4，，…}；(3){3．14，＋8， ，…}；(4){－3．07，－22，－1，－4，…}；(5){＋8，…}；(6){－1，…}．7． －0．03 mm；表示螺丝钉的尺寸正好符合规定标准．8．3 －3【思路拓展题】原始 ＋，＋，＋，＋，＋，＋；① －，－，－，－，＋，＋；② －，＋，＋，＋，－，＋；③ －，－，－，－，－，－．第三次杯口全部朝下．。