单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,线性多变量系统,选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社,,教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社,何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社,线性多变量系统选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华,第一章 绪 论,第二章 线性系统的状态空间描述,第三章 线性系统的运动分析,第四章 线性系统的能控性和能观测性,第五章 线性系统的稳定性,第六章 线性反馈系统的时间域综合,线性系统的时间域理论,线性系统的复频率域理论,第一章 绪 论第二章 线性系统的状态空间描述第三章,第一章 绪论,,1.1,系统控制理论的研究对象,系统,是系统控制理论的研究对象,系统,:,是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”,系统具有如下,3,个基本特征,:,,(1),整体性,,,(2),抽象性,,作为系统控制理论的研究对象,,,系统常常抽去了具体系统的物理,,,自然和社会含义,,,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究,.,(3),相对性,,在系统的定义中,,,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性,1/3,1/5,第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理,动态系统,:,所谓动态系统,,,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统,——,动力学系统,系统变量可区分为三类形式,,系统动态过程的数学描述,,动态系统的分类,从机制的角度,,从特性的角度,,,从作用时间,类型的角度,,,u,x,y,2/3,2/5,动态系统: 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规,线性系统理论的研究对象为,线性系统,,,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理,.,若表征系统的数学描述为,L,,系统模型,是对系统或其部分属性的一个简化描述,①,系统模型的作用,,②模型类型的多样性,,③数学模型的基本性,,④建立数学模型的途径,,⑤系统建模的准则,3/3,3/5,线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满,1.2,线性系统理论的基本概貌,线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科,主要内容,:,数学模型,→,分析理论,→,综合理论,发展过程,:,经典线性系统理论,,,现代线性系统理论,主要学派,:,状态空间法,几何理论,把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,,,并采用几何语言来对系统进行描述,,,分析和综合,代数理论,把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,,,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,,,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题,多变量频域方法,,1/2,4/5,1.2 线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系,1.3,本书的论述范围,,1,：状态空间法,,,2,：多项式矩阵法,2/2,5/5,1.3 本书的论述范围 1：状态空间法2/2,5/5,第一部分,:,线性系统时间域理论,,第二章 线性系统的状态空间描述,,2.1,状态和状态空间,,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,,,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法,系统动态过程的数学描述,,1/4,1/50,第一部分: 线性系统时间域理论 第二章 线性系统的状态空间,(1).,系统的外部描述,外部描述常被称作为输出,—,输入描述,例如,.,对,SISO,线性定常系统,:,时间域的外部描述,:,,复频率域描述即传递函数描述,,(2),系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,,,需要由两个数学方程表征,,——,状态方程和输出方程,(3),外部描述和内部描述的比较,,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,,,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分,.,,内部描述则是系统的一种完全的描述,,,能够完全反映系统的所有动力学特性,.,,2/4,2/50,(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述例如,状态和状态空间的定义,状态变量组,:,,状态,（向量）,,一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组,,所组成的一个列向量,一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组,,状态空间,,状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,,,状态空间的维数等同于状态的维数,几点解释,（,1,）状态变量组对系统行为的完全表征性,只要给定初始时刻,t,0,的任意初始状态变量组,,和,t≥t,0,各时刻的任意输入变量组,,那么系统的任何一个内部变量在,t≥t,0,各时刻的运动行为也就随之而完全确定,,3/4,3/50,状态和状态空间的定义 状态变量组: 状态一个动力学系统的,(2).,状态变量组最小性的物理特征,(3).,状态变量组最小性的数学特征,(4).,状态变量组的不唯一性,(5).,系统任意两个状态变量组之间的关系,(6),有穷维系统和无穷维系统,(7),状态空间的属性,状态空间为建立在实数域,R,上的一个向量空间,R,n,4/4,4/50,(2).状态变量组最小性的物理特征(3). 状态变量组最小性,2.2,线性系统的状态空间描述,,电路系统状态空间描述的列写示例,,,,,,,,,以上方程可表为形如,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的,状态空间表达式,（动态方程或运动方程），包括,状态方程,（描述输入和状态变量之间的关系）和,输出方程,（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
1/7,5/50,2.2 线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示,机电系统状态空间描述的列写示例,,,,,,,,,,,,,上式可表为形如,,2/7,6/50,机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 2/7,6/,连续时间线性系统的状态空间描述,动态系统的结构,,,连续时间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,,线性时变系统,,3/7,7/50,连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系,连续时间线性系统的方块图,,,,,,,4/7,8/50,连续时间线性系统的方块图 4/7,8/50,人口分布问题状态空间描述的列写示例,假设某个国家,,,城市人口为,10,7,,,乡村人口为,9,x10,7,,,每年,4%,的城市人口迁移去乡村,, 2%,的乡村人口迁移去城市,,,整个国家的人口的自然增长率为,1%,设,k,为离散时间变量,, x,1,(k),、,x,2,(k),为第,k,年的城市人口和乡村人口,, u(k),为第,k,年所采取的激励性政策控制手段,,,设一个单位正控制措施可激励,5x10,4,城市人口迁移乡村,,,而一个单位负控制措施会导致,5x10,4,乡村人口去城市,, y(k),为第,k,年全国人口数,,写成矩阵形式,,5/7,9/50,人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为1,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,,,离散时间线性时变系统,,6/7,10/50,离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时,状态空间描述的特点,一是,:,状态方程形式上的差分型属性,,二是,:,描述方程的线性属性,,三是,:,变量取值时间的离散属性,离散时间线性系统的方块图,,,,,,,,7/7,11/50,状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性离散时间线,2.3.,连续变量动态系统按状态空间描述的分类,,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,,若,f(x,u,t),g(x,u,t),的全部或至少一个组成元为,x,、,u,的非线性函数,,,该系统称为,非线性系统,,若,f(x,u,t),g(x,u,t),的全部组成元为,x,、,u,的线性函数,,,该系统称为,线性系统,,对于线性系统,,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,1/2,12/50,2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线,时变系统和时不变系统,若向量,f,g,不显含时间变量,t,,即,,该系统称为,时不变系统,,若向量,f,g,显含时间变量,t,,即,,该系统称为,时变系统,,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,,,状态变量和输出变量取值于连续时间点,,,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,,,该系统称为,连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,,,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,,,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,,,该系统称为,离散时间系统,.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为,确定性系统,,,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,,,都是随时间按确定的规律而变化的,.,称一个动态系统为,不确定性系统,,,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,,,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2/2,13/50,时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系,2.4,由系统输入输出描述导出状态空间描述,,由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,,,单输出线性时不变系统,,,其微分方程描述,,其传递函数描述,,可以导出其状态空间描述为,,1/18,14/50,2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导,结论,1,给定单输入,,,单输出线性时不变系统的输入输出描述,,,,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,,即系统为真情形,设,2/18,15/50,结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对,可见,3/18,16/50,可见 3/18,16/50,令,有,4/18,17/50,令 有 4/18,17/50,(2)m
14/18,27/50,写成矩阵形式 例2 设单输入单输出系统的传递函数为 试列写其,解,可画出系统结构图如下,,,,,,,写出变量之间的关系,,15/18,28/50,解 可画出系统结构图如下 写出变量之间的关系 15/18,2,写成矩阵形式,,16/18,29/50,写成矩阵形式 16/18,29/50,也可以画出结构图为,e,11,,e,13,e,12,,,e,2,e,3,可写出系统的动态方程为,17/18,30/50,也可以画出结构图为 e11e13e12e2e3可写出系统的动,例,3,,,设,画出结构图,,动态方程为,18/18,31/50,例3 设画出结构图 动态方程为 18/18,31/50,2.5,线性时不变系统的特征结构,,特征多项式,,连续时间线性时不变系统,,,(1),特征多项式,,,均为实常数,(2),特征方程式,,(3),凯莱,-,哈密尔顿（,Caley-Hamilton,）定理,,1/6,32/50,2.5 线性时不变系统的特征结构 特征多项式 连续时间线性时,(4),最小多项式,,,的各个元多项式之间互质,定义,Φ,（,s,）为系统矩阵,A,的最小多项式，最小多项式,Φ,（,s,）也满足凯莱,-,哈密尔顿定理，即,Φ,（,A,）,=0,(5),系统矩阵的循环性,如果系统矩阵,A,的特征多项式,α(s),和最小多项式,Φ,（,s,）之间只存在常数类型的公因子,k,，即,,则称系统矩阵,A,是循环的。
6),特征多项式的计算,2/6,33/50,(4) 最小多项式 的各个元多项式之间互质 定义Φ（s）为系,①,基于迹计算的特征多项式迭代算法,,②,基于分解计算的特征多项式迭代算法,3/6,34/50,① 基于迹计算的特征多项式迭代算法 ② 基于分解计算的特征多,特征值,,(1),特征值的代数属性,系统特征值就是使特征矩阵,(,sI,－,A,),降秩的所有,s,值,(2),特征值集,对,n,维线性时不变系统，有且仅有,n,个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集3),特征值的形态,特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数,(4),特征值类型,系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型,4/6,35/50,特征值(1) 特征值的代数属性 系统特征值就是使特征矩阵(s,(5),特征值的代数重数,代数重数,σ,i,代表特征值集,Λ,中值为,λ,i,的特征值个数,(6),特征值的几何重数,,(7),特征值重数和类型的关系,对,n,维线性时不变系统，若,λ,i,∈A,为单特征值，则其代数重数,σ,i,和几何重数,α,i,之间必 有,,特征向量和广义特征向量,,,5/6,36/50,对,n,维线性时不变系统，若,λ,i,∈A,为重特征值，则其代数重数,σ,i,和几何重数,α,i,之间必 有,(5) 特征值的代数重数 代数重数σi 代表特征值集Λ中值为,(1),特征向量的几何特性,,(2),特征向量的不唯一性,(3),单特征值所属特征向量的属性,对,n,维线性时不变系统，系统矩阵,A,的属于特征值,{λ,1,、,λ,2,、,…λ,n,},的相应一组特征向量,{v,1,、,v,2,、,…v,n,},为线性无关，当且仅当特征值,{λ,1,、,λ,2,、,…λ,n,},为两两互异。
广义特征向量,对,n,维线性时不变系统，设,λ,i,为,n,×,n,维系统矩阵,A,的一个,σ,i,重特征值，则,,6/6,37/50,(1) 特征向量的几何特性 (2) 特征向量的不唯一性 (3,对于广义特征向量，可以指出如下一些基本属性1,）广义特征向量链,对于 维线性定常系统，设 为系统矩阵 的属于 重特征值 的 级广义右特征向量，则按如下方式定义的 个广义特征向量必为线性无关：,,且称此组特征向量为 的长度为 的广义特征向量链2),确定广义特征向量组的算法,对 维线性定常系统，设系统矩阵 的特征值 的代数重数为 ，则,的属于 的右广义特征向量组由 个线性无关 维非零向量组成，,， ，,对于广义特征向量，可以指出如下一些基本属性1）广义特征向,算法,2.3,[,右广义特征向量组,],的属于 的 个右广义特征向量可按如下的步骤来确定：,step1,：计算,直到,为了使讨论更清楚和符号不过于复杂，不失一般性，在以下步骤中假定：,,并设计算结果为：,,Step2:,确定广义特征向量组的分块表，基本原则为,表的列数＝广义特征向量组的分块数＝ ＝,4,,表的”列 ”＝“分块 ”，,列 即分块 中特征向量个数＝,列 即分块 内特征向量按由下而上排列。
在此基础上， 的属于 重特征值 的右广义特征向量组分块表的形式如下表所示分块表的列数等于 ；分块表的行数等于特征根的几何重数,,,即 算法2.3 [右广义特征向量组] 的属于,线性多变量系统线性系统理论完整课件,,Step3:,定义表中的独立型特征向量和导出型特征向量独立型特征向量定义为表的每个行中位于最左位置的特征向量，即为 ，导出型特征向量定义为表的每个行中位于独立特征向量右侧的各个特征向量，由,所生成Step4:,确定独立特征向量 确定方法为,,,,,,,Step5:,确定导出型特征向量基于独立型特征向量 导出型特征向量可按下式确定：,,Step3:定义表中的独立型特征向量和导出型特征向量独立型,Step6:,确定广义特征向量链其中,广义特征向量链的数目＝分块表中行的数目＝,3,广义特征向量链＝分块表行中的特征向量组,由此，从表中可以看出，,3,个广义特征向量链为,,,,,(3),不同广义特征向量组间的关系,对于 维线性定常系统，设 为 系统矩阵,A,的一个 重特征值， 则矩阵,A,的属于不同特征值的 个广义特征向量组间必为线性无关。
Step6:确定广义特征向量链其中(3)不同广义特征向量组,结论,4,,特征值为两两互异的情形,2.6,状态方程的约当规范形,对,n,个特征值,{λ,1,、,λ,2,、,…λ,n,},两两互异的,n,维线性时不变系统，基于,n,个特征向量构造变换阵,p=[v,1,、,v,2,、,…v,n,],，则状态方程,,可通过线性非奇异变换,,而化为约当规范形,,包含复数特征值情形的对角线规范形（略）,1/3,38/50,结论4 特征值为两两互异的情形2.6 状态方程的约当规范形对,结论,5,,特征值包含重值的情形,对包含重特征值的,n,维线性时不变系统，设系统的特征值,,那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵,Q,，令,,可将系统状态方程化为约当规范形：,,,2/3,39/50,结论5 特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系,其中，,J,i,为相应于特征值,λ,i,的约当块：,3/3,40/50,其中，Ji为相应于特征值λi 的约当块：3/3,40/50,求矩阵,A,的约当型的另外一种方法步骤如下：,1,写出矩阵,A,的 －矩阵,2.,通过初等变换将 矩阵变换成对角标准型。
得到不变因子3.,将对角标准型对角元素（不变因子）在复数域内分解因式，得初等因子4.,写出矩阵的初等因子组（属于不同不变因子的相同初等因子重复计算）,5.,根据初等因子组写出,Jordan,型6.,由公式 求解变换阵,,约当,Jordan,型的 － 阵法,求矩阵A的约当型的另外一种方法步骤如下：约当Jordan型,2.7,由状态空间描述导出传递函数矩阵,传递函数矩阵,定义：,单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即,多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：,,称,G,(,s,),为系统的传递函数矩阵其中,,1/4,41/50,2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵定义：单输,(1),G,(,s,),的函数属性,传递函数矩阵,G,(,s,),在函数属性上是复变量,s,的,q,×,p,有理分式矩阵2),G,(,s,),的真性和严真性,当且仅当,G,(,s,),是真或严真时，,G,(,s,),才是物理上可实现的,,(3),G,(,s,),的特征多项式和最小多项式,,(4),G,(,s,),的极点,G,(,s,),的极点定义为方程式,,的根,2/4,42/50,(1) G(s)的函数属性 传递函数矩阵G(s)在函数属性上,(5),G,(,s,),的循环性,若,称,G,(,s,),是循环的,(6),G,(,s,),正则性和奇异性,,G,(,s,),基于,(,A,,,B,,,C,,,D,),的表达式,考虑连续时间线性时不变系统,,则,,设,G,(,s,),的首一化特征多项式为,α,G,(s),，,A,的特征多项式为,α(s),，若,,必有,,若系统能控能观测，则,,表,G,(,s,),的极点集合,Λ,G,，,A,的特征值集合,Λ,，若,Λ,G,≠Λ,，,则,Λ,G,⊂,Λ,；若系统能控能观测，则,Λ,G,=,Λ,,。
3/4,43/50,(5) G(s)的循环性 若 称G(s)是循环的 (6) G,结论,7,,G,(,s,),的实用计算关系式,令,,则,,4/4,44/50,结论7 G(s)的实用计算关系式令 则4/4,44/50,2.8,线性系统在坐标变换下的特性,,,,,结论,8,坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征坐标变换的几何含义和代数表征,线性时不变系统状态空间描述为,,引入坐标变换,,则变换后系统的状态空间描述为,,,1/3,45/50,2.8 线性系统在坐标变换下的特性坐标变换的实质是把系统在空,结论,9,,线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵性非奇异变换下保持不变定义：,称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等2/3,46/50,结论9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵性非奇,结论,10,,线性时变系统在坐标变换下的特性,对线性时变系统,引入坐标变换,,P(t),为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为,,,3/3,47/50,结论10 线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统 引入,2.9,组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵,设,,子系统并联,,两个子系统可以实现并联联接的条件,,,,,1/3,48/50,2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵设 子系统并联,并联后,,子系统串联,,两个子系统可以实现串联联接的条件是：,,串联后,,,,2/3,49/50,并联后 子系统串联 两个子系统可以实现串联联接的条件是： 串,,,子系统反馈联接,设,,两个子系统实现输出反馈联接的条件是,,反馈联接后,,,,,3/3,50/50,子系统反馈联接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是 反馈联,第三章 线性系统的运动分析,3,．,1,引言,从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律解的存在性和唯一性条件,,设系统状态方程,如果系统矩阵,A(t),B(t),的所有元在时间定义区间,[t,0,,t,α,],上为时间,t,的连续实函数，输入,u(t),的所有元为时间,t,的连续实函数，那么状态方程的解,x(t),存在且唯一从数学观点，上述条件可减弱为：,①,系统矩阵,A(t),的各个元,α,ij,(t),在时间区间,[t,0,,t,α,],上为绝对可积，即：,,②,输入矩阵,B(t),的各个元,α,ij,(t),在时间区间,[t,0,,t,α,],上为平方可积，即：,1/2,1/29,第三章 线性系统的运动分析3．1 引言从数学的角度，运动分析,,③,输入,u(t),的各个元,u,k,(t),在时间区间,[t,0,,t,α,],上为平方可积，即：,,条件②③可一步合并为要求,B(t) u(t),的各元在时间区间,[t,0,,t,α,],上绝对可积2/2,2/29,③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为,3,．,2,连续时间线性时不变系统的运动分析,,系统的零输入响应,令输入,u(t)=0,而得到系统自治状态方程,结论,1.,系统自治状态方程的解，具有以下形式,,其中,,若初始时间取为,t,0,≠0,则,,,1/12,3/29,3．2 连续时间线性时不变系统的运动分析 系统的零输入响应令,矩阵指数函数的性质,,,,,（,4,）设,A,和,F,为两个同维可交换方阵，即,AF=FA,则有,,,,,2/12,4/29,矩阵指数函数的性质 （4）设A和F为两个同维可交换方阵，即A,矩阵指数函数的算法,,1,：定义法,,2,：特征值法,1,）若,,则,2,）若,则,3/12,5/29,矩阵指数函数的算法 1：定义法 2：特征值法 1）若 则,3,）若,其中,则,其中,4/12,6/29,3）若 其中 则 其中 4/12,6/29,例,5/12,7/29,例5/12,7/29,例,,6/12,8/29,例 6/12,8/29,3,：有限项展开法,设,λ,1,、,λ,2,、,…λ,n,为,A,的,n,个互异特征值,而,从中可求出,α,1,、,α,2,、,…α,n,若,λ,i,为,l,重特征值，则相应的,l,个方程为,7/12,9/29,3：有限项展开法 设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值,例,,令,8/12,10/29,例 令 8/12,10/29,4,：预解矩阵法,,系统状态运动规律的基本表达式,,设系统的状态空间描述为,,有表达式,,对初始时刻,t,0,=0,情形有表达式,9/12,11/29,4：预解矩阵法 系统状态运动规律的基本表达式 设系统的状态空,基于特征结构的状态响应表达式,设系统的状态空间描述为,,,A,的属于,λ,1,λ,2,…λ,n,线性无关右特征向量组,A,的属于,λ,1,λ,2,…λ,n,线性无关左特征向量组,λ,1,λ,2,…λ,n,为,A,的,n,个两两相异的特征值,右特征向量矩阵,,10/12,12/29,基于特征结构的状态响应表达式设系统的状态空间描述为A的属于λ,结论,对特征值两两相异一类,n,维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数,e,At,的表达式：,,,左特征向量矩阵,,显然,11/12,13/29,结论 对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特,结论,,对特征值两两相异一类,n,维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应,x,0u,(t),零初态响应,x,0x,(t),以及状态运动规律,x(t),的表达式为：,,12/12,14/29,结论 对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特,3.3,连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,设连续时间线性时不变系统，状态方程为：,基本解阵,,矩阵方程,的解阵,,称为连续时间线性时不变系统,(1),的基本解阵。
其中,H,为任意非奇异实常阵,结论：,(1).,基本解阵不唯一,,(2).,由系统自治方程,,的任意,n,个线性无关解为列可构成一个基本解阵3).,连续时间线性时不变系统,(1),的一个可能的基本解阵为,,1/7,15/29,3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵设连续时间线性时不,状态转移矩阵,,矩阵方程,,的解阵,ф,(t-t,0,),,称为连续时间线性时不变系统,(1),的状态转移矩阵结论：,1:,连续时间线性时不变系统,(1),的状态转移矩阵可由基本解阵定出,2:,状态转移矩阵,ф,(t-t,0,),唯一，与基本解阵的选取无关3:,状态转移矩阵的形式为,,基于状态转移矩阵的系统响应表达式,,,2/7,16/29,状态转移矩阵 矩阵方程 的解阵ф(t-t0) 称为连续时间线,状态转移矩阵的特性,,3/7,17/29,状态转移矩阵的特性3/7,17/29,线性时变系统的输出为：,假设初始条件为零，输入信号中，,u,i,(t),为单位脉冲信号,,,其余的输入信号为零即：,则输出为,3.4,连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,4/7,18/29,线性时变系统的输出为： 假设初始条件为零，输入信号中，ui(,定义,：表,h,i j,(t-τ),为第,j,个输入端在时刻,τ,加以单位脉冲,δ(t-τ),而所有其他输入为零时，在第,i,个输出端的脉冲响应，对,p,维输入，,q,维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应,h,i j,(t-τ),为元构成的一个输出响应矩阵,,结论,：对,p,维输入，,q,维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入,u,作用下的输出响应,y(t),为,,5/7,19/29,定义：表hi j(t-τ)为第j个输入端在时刻τ加以单位脉冲,脉冲响应矩阵和状态空间描述,,结论,：对连续时间线性时不变系统,(A.B.C.D),，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为,,结论,：①两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵,,②两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。
结论,：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵,H(t),和传递函数矩阵,G(s),之间有如下关系：,,6/7,20/29,脉冲响应矩阵和状态空间描述 结论：对连续时间线性时不变系统(,例,,求脉冲响应矩阵,解,,也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得,7/7,21/29,例 求脉冲响应矩阵解 也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得 7,3.5,连续时间线性时变系统的运动分析,,状态转移矩阵,设连续时间线性时变系统，状态方程为,,对连续时间线性时变系统，矩阵方程：,,的解矩阵,ф(t,t,0,),称为状态转移矩阵矩阵方程,,的解矩阵,Ψ(t),称为基本解阵,,,其中,H,为任意非奇异实常值矩阵1/3,22/29,3.5连续时间线性时变系统的运动分析 状态转移矩阵设连续时间,结论,：①基本解阵不唯一,,②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程,,的任意,n,个线性无关解为列构成,③,对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵,,结论,：①状态转移矩阵为唯一,②,,2/3,23/29,结论：①基本解阵不唯一的任意n个线性无关解为列构成 ③对连续,状态转移矩阵的性质,,系统的状态响应,,结论,：对连续时间线性时变系统，状态方程的解,,脉冲响应矩阵,结论,：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵,,结论,：对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为：,,3/3,24/29,状态转移矩阵的性质 系统的状态响应 结论：对连续时间线性时变,3.6,连续时间线性系统的时间离散化,基本约定,,1,）对采样方式的约定,采样方式取为以常数,T,为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期,T,小得多。
2,）对采样周期,T,大小的约定,满足,Shamnon,采样定理给出的条件,3,）对保持方式的约定,零阶保持方式,基本结论,,给定连续时间线性时变系统,,则其在基本约定下的时间离散化描述为,,1/3,25/29,3.6 连续时间线性系统的时间离散化基本约定 1）对采样方式,其中,,结论,,给定连续时间线性时不变系统,,则其在基本约定下的时间离散化描述为,,,其中,结论,,①,时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性,,②离散化系统属性：不管系统矩阵,A(t),或,A,是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵,G(k),和,G,必为非奇异2/3,26/29,其中 结论 给定连续时间线性时不变系统 则其在基本约定下的时,例,：,线性定常系统的状态方程为,设采样周期,T=1,秒，试求其离散化状态方程解,,3/3,27/29,例：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化,3,．,7,离散时间线性系统的运动分析,不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用,迭代法,求解其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。
定义,：矩阵方程,Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m), Φ(m,m)=I,的解阵,Φ(k,m),称为离散时间线性时变系统,x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),的,状态转移矩阵,矩阵方程,Φ(k+1)=GΦ(k) ,Φ(0)=I,的解阵,Φ(k),,称为离散时间线性时不变系统,x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),的,状态转移矩阵,结论,：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：,Φ,（,k,m,）,=G(k-1)G(k-2)…G(m),,离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为：,,结论,：①,Φ(k,m),非奇异,〈==〉G(i),I=m,m+1,…k-1,均为非奇异,,②,Φ(k),非奇异,〈==〉G,非奇异,,③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异1/2,28/29,3．7 离散时间线性系统的运动分析不管是时变差分方程，还是时,结论,：对离散时间线性时变系统，其解为：,,对离散时间线性时不变系统，其解为,,定义,：对离散时间线性时不变系统,x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k),,脉冲传递函数矩阵,,,定义为零初始条件下，满足,,的一个,q×p,有理分式矩阵,,结论,：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为,,2/2,29/29,结论：对离散时间线性时变系统，其解为： 对离散时间线性时不变,第四章线性系统的能控性和能观测性,4,．,1,能控性和能观测性的定义,线性定常系统,(A,B,C),，对任意给定的一个初始状态,x(t,0,),，如果在,t,1,> t,0,的有限时间区间,[t,0,,t,1,],内，存在一个无约束的控制矢量,u(t),，使,x(t,1,)=0,，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量,u(t),对系统状态的控制性质,,,与系统的内部结构和参数有关定义,,,,,,,,1/3,1/45,第四章线性系统的能控性和能观测性4．1 能控性和能观测性的定,能控性，能达性定义,,对连续时间线性时变系统,,如果存在一个时刻,,以及一个无约束的容许控制,u(t),,使系统状态由,x(t,0,)=x,0,转移到,x(t,1,)=0,，则称非零状态,X,0,在,t,0,时刻为,能控,如果存在一个时刻,t,1,∈J,t,1,>t,0,,,以及一个无约束的容许控制,u(t),t∈[t,0,,t,1,],,使系统状态由,x(t,0,)=0,转移到,x(t,1,)=x,f,≠0,,则称非零状态,x,f,在,t,0,时刻为,能达,对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价定义,：对连续时间线性时变系统,,和指定初始时刻,t,0,∈J,，如果状态空间中所有非零状态在时刻,t,0,∈J,都为能控,/,能达，称系统在时刻,t,0,为,完全能控,/,能达,。
2/3,2/45,能控性，能达性定义 对连续时间线性时变系统 如果存在一个时刻,定义：,对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻,t,0,∈J,，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻,t,0,∈J,为不能控,/,能达，称系统在时刻,t,0,为不完全能控,/,能达定义,：若系统的能控,/,能达性与初始时刻,t,0,的选取无关，或系统在任意初始时刻,t,0,∈J,均为完全能控,/,能达，则称系统为一致完全能控,/,能达能观测性定义,对连续时间线性时变系统和指定初始时刻,t,0,∈J,,如果存在一个时刻,t,1,∈J,，,t,1,>t,0,，使系统以,x(t,0,)=x,0,为初始状态的输出,y(t),恒为零，即,y(t)≡0,，,t∈[t,0,,t,1,],，则称非零状态,x,0,在时刻,t,0,为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻,t,0,都不为不能观测，则称系统在时刻,t,0,为,完全能观测,；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻,t,0,为不能观测，则称系统在时刻,t,0,为,不完全能观测,；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻,t,0,的选取无关，则称系统为,一致完全能观测,。
该系统是不完全能观测的,由于,可见系统的状态,x(t),的能观测性与,x(t,0,),的能观测性是等价的3/3,3/45,定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状,4,．,2,连续时间线性系统的能控性判据,,结论,1,：,,线性时变系统,在,t,0,时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,,为非奇异矩阵,证明,,充分性,为非奇异时，系统能控,说明系统是能控的,1/8,4/45,4．2 连续时间线性系统的能控性判据 结论1：线性时变系统在,反证法,必要性,是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果由于,是奇异的，故,的行向量在,[t,0,,t,1,],上线性相关，必存在非零的行向量,α,，使在,[t,0,,t,1,],区间成立 ，若选择非零的初始状态,x(t,0,)= α,T,,,则,说明,α=0,,矛盾,2/8,5/45,反证法 必要性 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果结论,2,：,连续时间线性时不变系统：,完全能控的充分必要条件是，存在时刻,t,1,>0,，使格拉姆矩阵,,为非奇异。
结论,3,：,n,维连续时间线性时变系统,,设,A(t),B(t),对,t,为,n-1,阶连续可微，定义,,则系统在时刻,t,0,∈J,完全能控的一个,充分条件,为，存在一个有限时刻,t,1,∈J,，,t,1,>t,0,，,,,使,,3/8,6/45,结论2：连续时间线性时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，,结论,4,,对,n,维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵,满秩，即,rankQ,c,=n,结论,5,n,维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：,rank[SI-A∶B]=n,,,或,为系统特征值,,结论,6,：,n,维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵,A,不存在与,B,所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵,A,所有特征值,λ,i,，使同时满足,α,T,A=,λ,i,,α,T,，,α,T,B=0,的左特征向量,α,T,=0,4/8,7/45,结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必,结论,7,：对,n,维线性时不变系统，若,A,为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是,B,中不包含零行向量。
结论,8,：对,n,维线性时不变系统，若,A,为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的,B,阵中，该行元素不全为零②特征值相同的各约当块最后一行对应的,B,阵各行向量线性无关5/8,8/45,结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相,例,,图示电路，判断系统能控性条件,,,,,,,解,,选取状态变量,x,1,=i,L,，,x,2,=u,C,，得系统的状态方程为：,6/8,9/45,例 图示电路，判断系统能控性条件 解 选取状态变量x1=iL,（,R,1,R,4,=R,2,R,3,）时，系统不能控否则系统能控例,,系统能控的充分必要条件是向量组,{b,l11,、,b,l12,、,b,l13,},线性无关以及,{b,l21,},线性无关（即不为零）7/8,10/45,（R1R4=R2R3）时，系统不能控否则系统能控 例 系,定义,：令,,对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：,μ,＝使“,rankQ,k,=n”,成立的最小正整数,k,结论,9,：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，则系统能控性指数,μ,＝,n,。
结论,10,：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,p,，设,rankB=r,，则能控性指数满足,,设,,为矩阵,A,的最小多项式次数，则,,结论,11,：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,p,，且,rankB=r,,则系统完全能控的充分必要条件为：,,8/8,11/45,定义：令 对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为,4,．,3,连续时间线性系统的能观测性判据,,结论,1,：,线性时变系统在,t,0,时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,,结论,2,：,连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻,t,1,>0,，使格拉姆矩阵,为非奇异1/5,12/45,4．3 连续时间线性系统的能观测性判据 结论1：线性时变系统,,结论,3,：,,n,维连续时间线性时变系统设,A(t),C(t),对,t,为,n-1,阶连续可微，定义,,则系统在时刻,t,0,∈J,完全能观测的一个,充分条件,为，存在一个有限时刻,t,1,∈J,，,t,1,>t,0,，,,,使,,2/5,13/45,结论3：n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为,结论,4,,对,n,维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵,满秩，即,rankQ,o,=n,结论,5,n,维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：,,或,为系统特征值,,结论,6,：,n,维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵,A,不存在与,C,所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵,A,所有特征值，使同时满足,,,,的右特征向量,,3/5,14/45,结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分,结论,7,：对,n,维连续时间线性时不变系统，若,A,为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是,C,阵中不包含零列向量。
结论,8,：对,n,维连续时间线性时不变系统，若,A,为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：,特征值互异的约当块第一列对应的,C,阵中，该列元素不全为零特征值相同的约当块第一列对应的,C,阵中，各列向量线性无关4/5,15/45,结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征,定义,：令,,完全能观测,n,维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为,υ,＝使“,rankQ,k,=n”,成立的最小正整数结论,9,：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，则能观测性指数为,υ,＝,n,结论,10,：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为,n,，输入维数为,q,，设,rankC=m,，则,,设,,为矩阵,A,的最小多项式次数，则,结论,11,：对多输出连续时间线性时不变系统，设,rankC=m,，则系统完全能观测的充分必要条件是：,,,,,5/5,16/45,定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数,4.4,离散时间线性系统的能控性和能观性判据,,时变系统的能控性和能观性判据,定义,,离散时间线性时变系统,,如果对初始时刻,h,∈J,k,和任意非零初始状态,X(,h,)=X,0,都存在时刻,l,∈J,k,,,l,>h,和对应输入,u,(k),,使输入作用下系统状态在时刻,l,∈J,k,达到原点，即有,X(,l,)=0,,则称系统在时刻,h,完全能控,；,如果对初始时刻,h,和任意非零状态,X,l,，都存在时刻,l,∈J,k,,,l,>h,和对应输入,u(k),，使输入作用下由初始状态,X(h)=0,出发的系统运动在时刻,l,∈J,k,达到,X,l,，则称系统在时刻,h,完全能达,。
结论,1,,离散时间线性时变系统在时刻,h,完全能达的充分必要条件为，存在时刻,l,∈J,k,,,l,>h,，使格兰姆矩阵,,为非奇异,1/8,17/45,4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控,结论,2,若系统矩阵,G(k),对所有,k∈[,h,,,l,-1],非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻,h,∈J,k,完全能控的充分必要条件为，存在时刻,l,∈J,k,,,l,>h,，使格兰姆矩阵,,为非奇异,若系统矩阵,G(k),对一个或一些,k∈[,h,,,l,-1],奇异格兰姆矩非奇异为系统在时刻,h,完全能控的一个充分条件若系统矩阵,G(k),对所有,k∈[,h,,,l,-1],非奇异，则系统能控性和能达性等价若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价2/8,18/45,结论2 若系统矩阵G(k)对所有 k∈[h,l-1] 非,时不变系统的能控性和能达性判据,,结论,3,,离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻,l,>0,，使格兰姆矩阵,,为非奇异若系统矩阵,G,非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻,l,>0,，使格兰姆矩阵,,,为非奇异。
若系统矩阵,G,奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件3/8,19/45,时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变,结论,4,n,维离散时间线性时不变系统,,系统完全能达的充分必要条件为矩阵,,满秩,若系统矩阵,G,非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为,rankQ,kc,=n,若系统矩阵,G,奇异，,rankQ,kc,=n,为系统完全能控的一个充分条件结论,5,,对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制,,则系统必可在,n,步内由任意非零初态,X(0),，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制若系统矩阵,G,非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价4/8,20/45,结论4 n维离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必,例,,设单输入线性离散系统的状态方程为,试判断系统的能控性，若初始状态,x(0)=[2,1,0],T,，确定使,x(3)=0,的控制序列,u(0),u(1),u(2),；研究,x(2)=0,的可能性。
解,,系统是能控的,5/8,21/45,例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若,,令,,若令,,无解即不存在控制序列,u,（,0,），,u,（,1,）能够使系统从初始状态,x(0)=[2,1,0],T,转移到,x(2)=0,6/8,22/45,令 若令 无解即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系,时变系统的能观测性判据,结论,6,,离散时间线性时变系统在。